11. Интерполяция b-сплайнами
Чуть более сложный тип интерполяции – так называемая полиномиальная сплайн-интерполяция, или интерполяция B-сплайнами. В отличие от обычной сплайн-интерполяции, сшивка элементарных B-сплайнов производится не в точках (ti, хi), а в других точках, координаты которых обычно предлагается определить пользователю. Таким образом, требование равномерного следования узлов при интерполяции B-сплайнами отсутствует и ими можно приближать разрозненные данные.
Р
ис.
4. ИнтерполяцияB-сплайнами
Сплайны могут быть полиномами первой, второй или третьей степени (линейные, квадратичные или кубические). Применяется интерполяция B-сплайнами точно так же, как и обычная сплайн-интерполяция, различие состоит только в определении вспомогательной функции коэффициентов сплайна.
NURBS
Вышерассмотренные методы достаточно просто обобщаются на случай аппроксимации двумерных обводов. Для конструирования криволинейных поверхностей с помощью стандартных параметрических полиномов, полиномов Бернштейна и NURBS в современных системах геометрического моделирования применяют три основных метода:
- тензорного произведения (tensor product surfaces);
- каркасный (lofting surfaces);
- булевой суммы (transfinitemethod).
При этом рациональные параметрические кривые Безье являются частным случаем NURBS.
Обобщение методов Безье и B-сплайнов в начале 70-х годов позволило получить одно из мощнейших и универсальных средств геометрического моделирования криволинейных обводов – NURBS- технологию (Non-Uniform,RationalB-Spline) – неравномерный рациональныйB-сплайн. Базовая геометрическая фигура (геометрический примитив) используется для описания кривых поверхностей.
На сегодняшний день существует множество способов описания геометрических объектов. Однако с точки зрения соотношения возможностей и затрат вычислительных ресурсов самым мощным инструментом является так называемое NURBS(Non-UniformRational,B-Splines) моделирование. В основе методаNURBSлежит описание объектов с помощью так называемых рациональных полиномиальных функций. Этот подход дает максимальную экономию вычислительных ресурсов и абсолютную гибкость в создании объектов произвольной формы.
Модели NURBS создаются из нескольких кривых. При этом для настройки искривления достаточно изменить собственный вес вершин и определить сплайны. Поверхности, построенные на основе NURBS-кривых, называют NURBS-объектами. Они выглядят плавными и сглаженными, легко поддаются редактированию. Просчет таких моделей является более ускоренным, чем традиционных полигональных сетей.
12. Выпуклые оболочки
Задача вычисления (построения) выпуклой оболочки не только является центральной в целом ряде приложений, но и позволяет разрешить ряд вопросов вычислительной геометрии, на первый взгляд не связанных с ней. Построение выпуклой оболочки конечного множества точек, особенно в случае точек на плоскости, уже довольно широко и глубоко исследовано и имеет приложения, например, в распознавании образов [Akl,Toussaint (1978);Duda,Hart (1973)],обработке изображений [Rosenfeld (1969)],а также в задаче раскроя и компоновки материала [Freeman (1974);Sklansky (1972);Freeman-Shapira(1975)].