14.1.3. Аппроксимация обводов параметрическими полиномами бернштейна

Итак, другой распространенной формой представления полиномов является представление в форме Бернштейна. Кроме аспектов, связанных с вычислительной устойчивостью алгоритмов с участием полиномов в форме Бернштейна, этот вид представления полиномов имеет несомненные преимущества чисто с геометрической точки зрения. Рассмотрим "геометрические" свойства полиномов Бернштейна более подробно.

Произвольный полином степени  в форме Бернштейна определяется уравнением

.

(11)

  где    - коэффициенты Бернштейна,

      - скалярные функции Бернштейна.

Коэффициенты  могут быть скалярными значениями некоторой функции, вычисленными на некотором отрезкедля равноотстоящих точек. Тогда полиномаппроксимирует функциюпри достаточно больших.     Если заменить скалярные коэффициентыпроизвольными векторами, то в этом случае полиномаппроксимирует ломаную, вершинами которой является заданный набор векторов, и определяет на заданном отрезкедугу кривой Безье-го порядка. Изменяя положение векторов, можно управлять формой дуги кривой.

Скалярные функции  определяются уравнениями

и образуют так называемый базис Бернштейна для множества всех полиномов степени не выше   на отрезке. Например, для случаяизображены функции базиса Бернштейна (см.рис. 14.1).

 

Рис. 14.1. Полиномы Бернштейна степени 7

В ряде случаев вместо единичного отрезка  изменения параметра целесообразно использовать отрезок. Тогда значения локального параметрана этом общем отрезкеможно вычислить по формуле:

.

На отрезке базисные функции Бернштейна определяются уравнениями

(12)

Отметим следующие основные свойства полиномов Бернштейна:

1. Сумма полиномов, определенных на заданном отрезке, равна единице:

,. Это свойство обеспечивает инвариантность полиномов при аффинных преобразованиях. Следовательно, аффинно-инвариантны и кривые Безье, определяемые этим набором полиномов. Заметим, что этим свойством обладают также полиномы в форме Лагранжа ( 8 ) и Эрмита ( 9 ), но не обладают стандартные полиномы ( 1 ).

2. Все полиномы не отрицательны на заданном отрезке

,.

В работе [3] указано, что значения полинома  находятся в интервале

. Это означает, что кривая, определяемая полиномом, лежит внутри выпуклой оболочки коэффициентов. Часто это свойство называют "свойством выпуклости оболочки". Заметим, что на плоскости выпуклая оболочка представляет собой область, ограниченную выпуклой ломаной, а в пространстве – выпуклым многогранником.

3. Возможно рекурсивное вычисление полиномов степени  , если известны полиномы степени:

Это свойство используется для вычисления  с помощью повторяющейся линейной интерполяции.

4. Если  - полиномы Бернштейна степени, то полиномыстепенивычисляются с помощью выражения:

,

где        для.

,. Это свойство используется при аппроксимации кривой Безье-го порядка другой кривой порядка.

5. В работе [2] доказано, что полиномы Бернштейна лучше приспособлены для вычисления простых корней, чем степенные полиномы, как на единичном отрезке  , так и на отрезке. Полиномы в форме Бернштейна обладают большей вычислительной устойчивостью, чем степенные полиномы. Это связано с тем, что при вычислении степенных полиномов по схеме Горнера может происходить значительная потеря точности за счет вычитания близких больших по модулю округленных чисел. При этом потеря точности увеличивается с возрастаниемиз-за ограниченного числа цифровых разрядов компьютера. Избежать потери точности в этом случае удается, применяя для вычисления полинома рекуррентные формулы. Один из методов измерения вычислительной устойчивости алгоритмов заключается в сравнении оценок погрешностей значения полинома в различных формах представления в окрестности произвольной точки [7]. В работе [5] выполнено исследование вычислительных аспектов алгоритмов полиномиальной аппроксимации и доказано, что полиномы в форме Бернштейна имеют меньшую оценку погрешности, чем степенные полиномы в стандартной форме. Однако при выполнении преобразования из одной формы представления полинома в другую указанное свойство может теряться из-за появления вычислительной неустойчивости.

6. Полиномы Бернштейна  имеют максимум при значении параметра. Это свойство используется при локальном контроле формы обвода. Перемещение управляющей точкикривой Безье в большей мере затрагивает участок кривой в окрестности точки со значением параметра.

7. Полиномы Бернштейна могут быть вычислены по схеме Горнера с помощью следующих формул:   на отрезке;на отрезке.