9. Степенные средние величины: содержание, виды, научные условия применения.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

степенные средние включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую. среднюю геометрическую.

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

где Х_i - величины, для которых исчисляется средняя; - средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений; F - частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Формула средней арифметической (простой) имеет вид:

где n - численность совокупности.

При расчете средних величин отдельные значения признака, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. Для этого используют среднюю арифметическую взвешенную:

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная:

Используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Средняя геометрическая. находит свое применение при определении средних темпов роста, когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака.

Для простой средней геометрической

Для взвешенной средней геометрической

Средняя квадратическая величина.

Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

Формула простой средней квадратической

Формула взвешенной средней квадратической

Степенные средние обладают свойством мажорантности.

гарм < геом < арифм < квадр < куб

10. Показатели вариации, их познавательное значение.

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Колебания отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Показатели вариации.

Используются для измерения колеблемости признаков, их изменчивости, определения устойчивости средней, оценке однородных совокупностей.

Для изучения изменчивости, колеблемости признаков используются следующие показатели: размах вариации, дисперсии, среднее квадратическое отклонение, средний коэффициент вариации.

1. Размах вариации – определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности.

Rа= хmax – хmin (абсолютный)

Rо= хmax/хmin (относительный)

Недостаток: берет во внимание только крайние значения.

2. Среднее линейное отклонение - показатель, отражающий типичный размер признака. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней.

а) простое ~L=(∑|xi-~x|)/n

б) взвешенное ~L=(∑|xi-~x|*fi)/∑fi

Недостаток: вертикальные скобки (модуль).

3. Объем вариаций

Wп=∑(xi-~x)^2

Wв=(∑(xi-~x)^2)*fi

4. Дисперсия - средняя величина квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

бп^2=∑(xi-~x)^2/n

бв^2=(∑(xi-~x)^2)*fi/∑fi

Недостаток: показатель получается в другой размерности, нежели признак.

5. Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.

бп=Корень (∑(xi-~x)^2/n)

бв=Корень ((∑(xi-~x)^2)*fi/∑fi)

6. средний коэффициент вариации

V=(б/хср)*100%

Средняя и вариация альтернативного признака.

Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями: наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1), а его отсутствие — нулем (0).

1 – наличие (P). 0 – отсутствие (q).

среднее значение альтернативного признака равно P

=Р

P+q=1

средний квадрат отклонений

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака: