18. Теория малых выборок.

При большом числе единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой А.М.Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений.

Однако в практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с малыми выборками.

Малой выборкой называется такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной совокупности не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются критерием Стьюдента.

Величина σ вычисляется на основе данных выборочного наблюдения.

Данная величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки σ в генеральной совокупности.

Вероятностная оценка результатов малой выборки отличается от оценки в большой выборке тем, что при малом числе наблюдений распределение вероятностей для средней зависит от числа отобранных единиц.

Однако для малой выборки величина коэффициента доверия t по другому связана с вероятностной оценкой, чем при большой выборке (так как, закон распределения отличается от нормального).

Согласно установленному Стьюдентом закону распределения, вероятная ошибка распределения зависит как от величины коэффициента доверия t , так и от объема выборки В.

Средняя ошибка малой выборки вычисляется по формуле:

,

где — дисперсия малой выборки.

В МВ коэффициент n/(n-1) нужно брать во внимание и обязательно корректировать. При определении дисперсии S2 число степеней свободы равно:

.

Предельная ошибка малой выборки определяется по формуле

При этом значение коэффициента доверия t зависит не только от заданной доверительной вероятности, но и от численности единиц выборки n. Для отдельных значений t и n доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента, в которых даны распределения стандартизированных отклонений:

.

Вероятностная оценка результатов МВ отличается от оценки в БВ тем что при малом числе наблюдений распределение вероятностей для средней зависит от числа отобранных единиц

БВ: P=F(t)

МВ: P=F(t, n)

19. Способы отбора единиц в выборочную совокупность.

Условия:

1. Выборочная совокупность должна быть достаточно большой по численности.

2. Структура выборочной совокупности должна наилучшим образом отражать структуру гнеральной совокупности

3. Способ отбора должен быть случайным

В зависимости от того участвуют ли отобранные единицы в выборке различают метод - бесповторный и повторный.

Бесповторным называется такой отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность, из которой осуществляется дальнейший отбор.

Расчет средней ошибки бесповторной случайной выборки:

Расчет предельной ошибки бесповторной случайной выборки:

При повторном отборе попавшая в выборку единица после регистрации наблюдаемых признаков возвращается в исходную ( генеральную) совокупность для участия в дальнейшей процедуре отбора.

Расчет средней ошибки повторной простой случайной выборки производится следующим образом:

Расчет предельной ошибки повторной случайной выборки:

Вид формирования выборочной совокупности подразделяется на - индивидуальный, групповой и комбинированный.

Способ отбора – определяет конкретный механизм выборки единиц из генеральной совокупности и подразделяется на: собственно – случайный; механический; типический; серийный; комбинированный.

Собственно – случайный наиболее распространенный способ отбора в случайной выборке, его еще называют методом жеребьевки, при нем на каждую единицу статистической совокупности заготовляется билет с порядковым номером. Далее в случайном порядке отбирается необходимое количество единиц статистической совокупности. При этих условиях каждая из них имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

Механическая выборка. Применяется в тех случаях, когда генеральная совокупность каким – либо образом упорядочена т. е. имеется определенная последовательность в расположении единиц.

Для определения средней ошибки механической выборки используется формула средней ошибки при собственно – случайном бесповторном отборе.

Типический отбор. Используется когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп. Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой группы собственно – случайным или механическим способом.

Для типической выборки величина стандартной ошибки зависит от точности определения групповых средних. Так, в формуле предельной ошибки типической выборки учитывается средняя из групповых дисперсий, т.е.

Серийный отбор. Применяется в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. Сущность серийной выборки заключается в собственно случайном либо механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц.

При серийной выборке величина ошибки выборки зависит не от числа исследуемых единиц, а от числа обследованных серий (s) и от величины межгрупповой дисперсии:

Комбинированный отбор может проходить одну или несколько ступеней. Выборка называется одноступенчатой, если отобранные однажды единицы совокупности подвергаются изучению.

Выборка называется многоступенчатой, если отбор совокупности проходит по ступеням, последовательным стадиям, причем каждая ступень, стадия отбора имеет свою единицу отбора.