2.2.2. Геометрический смысл дифференциала
Как
показано выше, для приращения функции
y
и ее дифференциала справедливо
приближенное равенство
,
где
угол наклона касательной к оси Ох.
Дифференциал функции dy
и ее приращение y
изображены на рис. 21, рис. 22.
Рис. 21 |
Рис. 22 |
Дифференциал
функции y
= f(x)
в точке
при приращении независимой переменной
x
равен
приращению ординаты
касательной (
)
к графику функции в этой точке.
В зависимости от характера изменения функции дифференциал может быть больше (рис.21) или меньше (рис.22) приращения функции y.
2.2.3. Свойства дифференциала
Пусть u = u (x), v = v(x) дифференцируемые функции.
1.
.
2.
.
3.
.
4. Вид дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или в свою очередь является дифференцируемой функцией другой переменной.
Действительно,
если
,
то
.
Если
,
,
то
.
Вопрос 22. Применение дифференциала для приближенных вычислений
Вычисление приближенного значения функции или ее приращения.
Пусть
дифференцируемая функция в окрестности
точки
.
Тогда при бесконечно малом приращении
х
с точностью до бесконечно малой более
высокого порядка по сравнению с х
можно считать, что приращение
функции
равняется
ее дифференциалу
,
т. е.
.
Данное приближенное равенство используют
для вычисления приращений функций и ее
значений по формулам
,
.
Пример
2.7. Вычислить
значение
,
используя дифференциал.
Данный
корень является значением функции
при х
= 10. Находим точку
= 8, которая является наиболее близкой
к х
= 10 и в которой значение данной функции
известно
.
Вычисляем величину приращения независимой
переменной х
= х
= 10
8 = 2. Находим производную функции
и ее значение в точке
=
8,
.
Вычисляем
.
Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n 1)-го порядка, полученный в предположении, что дифференциал независимой переменной постоянный, т. е.
.
Находим
,
.
Очевидно,
.
Из
последнего равенства можно записать
.
Вопрос 23.Теоремы о дифференцируемых функциях
2.3.1. Теорема Ролля
Теорема
Ролля. Если
функция y
= f(x)
непрерывна на отрезке [a,
b],
дифференцируемая в каждой его внутренней
точке и принимает равные значения в
граничных точках отрезка, то найдётся
такая внутренняя точка отрезка х=
с,
в которой производная функции равна
нулю
2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
Рис. 23
|
Если график функции y = f(x) непрерывный на отрезке [a, b] и гладкий (не имеет точек излома) на интервале (a, b) и ординаты графика функции в граничных точках отрезка равные f(а)= f(b), то найдется такая внутренняя точка отрезка х = с, в которой касательная параллельна оси Ох (рис. 23).
|
