10. Понятие выборочной оценки. Точечная и интервальная оценка. Понятие «доверительный интервал». Методы расчета доверительного интервала для среднего нормальной совокупности. Применение в политологии. (Баданова Р)

Выборочные оценки. Оценкой неизвестного параметра Z называют любую функцию n переменных от выборки:

Z _n = f (x1, x2, …x _n)

Поскольку оценка является функцией от случайного вектора (выборки), она сама является случайной величиной, распределение которой зависит от числа наблюдений n и оцениваемого параметра Z.

Существуют следующие виды оценок:

1. Оценка неизвестных параметров распределения:

• точечные оценки параметров распределения, например оценка математического ожидания, дисперсии, моментов распределения,

• интервальные оценки – доверительные интервалы – интервалы, в которых находятся параметры распределения с доверительной вероятностью.

Пусть неизвестен параметр распределения . Любая функция на выборке называется точечной оценкой . Оценки тоже являются случайными величинами.

Требования к оценкам:

1. Несмещенность

2. Состоятельность

3. Эффективность (по сравнению с другими оценками) – если дисперсия оценки меньше дисперсий других оценок.

Можно показать, что несмещенная оценка состоятельна, если ее выборочная дисперсия стремится к нулю при .

Интервальные оценки – доверительные интервалы – интервалы, в которых находятся параметры распределения с доверительной вероятностью, также являются оценками неизвестных параметров распределения, как и выборочные оценки или гистограмма

Доверительный интервал – это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром; содержит этот параметр с заданной вероятностью. Иными словами, это диапазон колебаний истинных значений; он показывает диапазон вокруг значения статистики, в котором находится истинное значение этой статистики с определенным уровнем доверия (надежности).

Величины, полученные в исследованиях на выборке, отличаются от истинных величин в целом вследствие влияния случайности. Так, 95% доверительного интервала означает, что истинное значение величины с вероятностью в 95% лежит в пределах рассчитанного интервала. Доверительные интервалы помогают сориентироваться, соответствует ли данный диапазон значений представлениям о ситуации в целом. Величина ДИ характеризует степень доказательности данных, в то время как значение р указывает на вероятность отклонения нулевой гипотезы.

Доверительный интервал – интервал где такой, что

Х1, …, Хn – независимая выборка,

- неизвестный параметр,

- доверительная вероятность, значение которой выбирается заранее (это определяется конкретными практическими приложениями; часто берут значения 0.9, 0.95, 0.99).

Доверительные интервалы для среднего задают область вокруг среднего, в которой с заданным уровнем доверия содержится «истинное» среднее выборки. Можно построить доверительный интервал. для любого р-уровня: например, если среднее равно 23, а нижняя и верхняя границы для р=0,5 равны 19 и 27 соответственно, то можно заключить, что с 95% вероятностью среднее выборки больше 19 и меньше 27.

- доверительный интервал по Стьюденту, где

• - среднее значение генеральной совокупности,

- ошибка среднего арифметического, вычисляемая по формуле

, ,

T – число Стьюдента (табличное значение, которое находится исходя из уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы k = n).

Пример: Желая узнать, сколько часов в неделю дети проводят у телевизора, социологическая служба обследовала 100 учеников некого города, в результате чего оказалось, что в среднем это число равно 27,5. Из прошлой практики известно, что стандартное отклонение ( X) генеральной совокупности равно 6 (часов). Найдем доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,95 для числа часов в неделю, проводимых ребенком у телевизора.

Поскольку доверительная вероятность b = 0,95, из таблицы находим T = 0,96, и границы интервала доверия будут такими:

ẋ ± T* ,

Доверительный интервал имеет вид (26.32; 28.68)

11. Анализ парных наблюдений в политологии: постановка задачи, применение критерия знаков. (Бочарова а)

У математической статистики есть две крупные задачи – оценивание (делаем вывод по выборке о генеральной совокупности) и проверка статистических гипотез (гипотез о характере распределения случайных величин).

Критерий знаков (sign test) — статистический критерий, позволяющий проверить нулевую гипотезу, что выборка подчиняется биномиальному распределению с параметром p=1/2. Критерий знаков можно использовать как непараметрический статистический критерий для проверки гипотезы об отсутствии сдвига (отсутствия эффекта обработки) в двух связных выборках (исследованиях одной и той же выборки до и после какого-то события).

Также называется «задача об одной выборке».

Дж. Арбетнот. 1712 г. Ненаблюдаемая гетерогенность

Можно ли списать разницу в наблюдениях на фактор случайности или нет?

H0: нет никаких различий между двумя связными выборками. P(Z> 0)=P(Z<0)=1/2.

H1 (альтернативная, конкурирующая гипотеза): выборки различаются P(Z> 0)≠P(Z<0).

Допущение: если происходим маловероятное событие при Р0, мы рассматриваем его как невозможное при H0. Определяем уровень значимости. Пусть альфа = 0,05.

Допустим, исследуются электоральные предпочтения на фокус-группе до и после просмотри агитационных материалов и их обсуждения.

i	Мнение до	Мнение после
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n	+ - 0 _ _ _ + - - …	+ + - - + - 0 + - -

>15

< 10

n = 25 (все, у кого отношение изменилось: и в худшую, в лучшую стороны).

Допустим, изучаем тех. У кого отношение улучшилось (примем их за S).

S – B (25; 0,5),

аппроксимация нормальности,

ES = np = 25*0,5 = 12,5

Переходим с стандартному нормальному распределению.

Ψ = (S – ES) / (DS)^0,5 = (S – 0,5n) / 0,5 (n)^0,5 = (2S – n) / (n)^0,5

Определяем доверительную зону (зону высоковероятных значений). При выбранном уровне значимость [ -1,96; 1,96].

Рассчитываем наблюденное значение статистики.

В нашем случае S = 15.

Ψ = (2*15 – 25) / 5 = 1.

Критерий: отвергать Ho в пользу H1 на уровне значимости альфа, если наблюденное значение статистики критерия не попало в доверительную зону (или по модулю превысило значение процентной точки).

В рассматриваемом случае нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу (следовательно, различий нет, ролик нейтрален).

12. «Задача о двух выборках»: постановка задачи. Критерий Стьюдента: алгоритм решения, ограничения метода. Пример использования в политологии.(Бочарова а)

Проблема, связанная с задачей сравнения двух выборочных совокупностей, часто встречающаяся.

Например, в политологии существует давно известное «условие М.С. Липсета», заключающееся в том, что уровень демократического развития тем выше в стране, чем успешнее ее экономическое развитие. Однако, к примерку, совсем по-иному трактует эти два процесса не менее авторитетные исследователь С. Хантингтон, предположивший в книге «Политический порядок в меняющихся обществах», что для экономической модернизации необходима стабильность и порядок, допускающий ограничение демократических свобод. Известно, что многие исследователи (Р. Барро, А. Пшеворский, А., Лимонджи и др.) проводили исследования, направленные на выявление различий в экономическом развитии демократий и автократий.

Для изучения этого вопроса необходимо иметь две выборки (демократии и автократии) и воспользоваться одним из статистических методов, например, критерием Стьюдента (и сравнить их средние значения).

t-критерий Стьюдента — общее название для статистических тестов, в которых статистика критерия имеет распределение Стьюдента. Критерий Стьюдента является параметрическим методом (основан на дополнительном предположении о нормальности выборки данных).

Данный критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

H0: F=G.

H1: F≠G (гипотеза сдвига).

Т.е. отвечаем на вопрос, можно ли сказать, что ax < ay (т.е. среднее первой выборки меньше среднего второй выборки)? А просто средние не берем, так как это робастная статистика, а просто медиану не берем, т.к. это все случайные числа (а критерий уходит от фактора случайности). ВЕРНО?

Рассмотрим на примере задачи.

Допустим, выборки: ВВП на д.н. (тыс. долл.)