|
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ |
ПС_РУПД |
|
|
Математический анализ |
Жёлтым цветом отмечены вопросы изучаемые в 1-м семестре.
-
Содержание дисциплины
Тема 1. Элементарные понятия теории множеств. Общее понятие функциональной зависимости.
-
Логическая символика. Множества и операции над ними.
-
Множество вещественных чисел. Ограниченные множества вещественных чисел.
-
Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств.
-
Счетные множества. Несчетные множества, континуум.
-
Прямое произведение двух множеств.
-
Общее понятие функции, числовая и векторная функции; функция вещественного переменного.
Тема 2. Предел числовой последовательности.
-
Числовые последовательности и операции над ними.
-
Ограниченные и неограниченные последовательности.
-
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
-
Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
-
Понятие сходящейся последовательности.
-
Основные свойства сходящихся последовательностей.
-
Предельный переход в неравенствах.
-
Монотонные последовательности и признаки их сходимости.
-
Число е.
Тема 3. Предел функции.
-
Функциональная зависимость и способы ее задания.
-
Предел функции.
-
Необходимое и достаточное условие существования предела.
-
Односторонние пределы.
-
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их сравнение.
-
Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
-
Предельный переход в неравенствах.
-
Первый и второй замечательные пределы.
-
Ограниченные и неограниченные функции.
-
Локальная ограниченность функции, имеющей предел.
Тема 4. Непрерывные функции.
-
Непрерывность функции в точке.
-
Арифметические операции над непрерывными функциями.
-
Понятие обратной функции.
-
Монотонные функции.
-
Монотонные функции, имеющие обратную.
-
Понятие сложной функции.
-
Непрерывность и предельное значение некоторых сложных функций.
-
Понятие элементарной функции; класс элементарных функций.
-
Точки разрыва функции и их классификация.
-
Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
-
Первая теорема Коши (о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака).
-
Вторая теорема Коши (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение).
-
Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на сегменте функции).
-
Точные верхняя и нижняя грани ограниченной функции.
-
Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на сегменте функцией точных верхней и нижней граней).
Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная и дифференциал функции.
-
Приращение аргумента и функции.
-
Разностная форма условия непрерывности функции.
-
Понятие производной.
-
Физический и геометрический смысл производной.
-
Правая и левая производные.
-
Дифференцируемость функции в точке.
-
Непрерывность дифференцируемой функции.
-
Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.
-
Теорема о дифференцировании обратной функции.
-
Производные основных элементарных функций.
-
Дифференцирование сложной функции.
-
Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
-
Дифференциал функции.
-
Инвариантность первого дифференциала функции.
-
Формулы и правила вычисления дифференциалов.
-
Геометрический смысл дифференциала функции.
-
Производные и дифференциалы высших порядков.
-
Формула Лейбница производной n-го порядка произведения двух функций.
-
Дифференцирование функции, заданной параметрически.
-
Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
-
Возрастание и убывание функции в точке.
-
Лемма Ферма (об условиях возрастания и убывания дифференцируемой в точке функции).
-
Локальный экстремум функции.
-
Теорема Ферма (о необходимом условии локального экстремума).
-
Теорема Ролля (о нуле производной).
-
Теорема Лагранжа; формула конечных приращений.
-
Теорема (правило Лопиталя) о раскрытии неопределенностей вида 0/0.
-
Теорема о раскрытии неопределенностей вида /.
-
Раскрытие неопределенностей других видов: 0*, -, 1, 0.
-
Формула Тейлора.
-
Остаточный член формулы Тейлора в формах Лагранжа, Пеано.
-
Формула Маклорена.
-
Оценка остаточного члена в форме Лагранжа для формулы Маклорена.