- •Понятие функции одного переменного. Виды и способа задания функции
- •2. Предел функции и его свойства
- •3. Односторонние пределы. Существование предела в точке
- •4. Теоремы о пределах функций
- •5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •6. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций
- •7. Первый и второй замечательные пределы
- •8. Непрерывные и разрывные функции. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятие производной . Геометрический и физический смысл.
- •10. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие
- •11.Теоремы о производных
- •12. Производная сложной функции.
- •13. Производная обратной функции
- •22. Монотонные функции. Теоремы о функциях непрерывных на отрезках
- •23. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования
- •24. Точки перегиба
- •25. Асимптоты
- •26.Алгоритм исследования графиков функций
- •27. Функция двух переменных. Виды и способы задания функции двух переменных
- •28. Предел функции двух переменных в точке
- •30. Непрерывность функции двух переменных в точке
- •31. Частные производные первого порядка
- •32. Дифференцируемость функции двух переменных в точке
- •34. Производная неявной функции
- •35. Производная по направлению
- •37. Частные производные высших порядков
- •39. Признак полного дифференциала
- •40. Экстремумы функций двух переменных.
- •41.Необходимое условие существования экстремума
- •42. Достаточное условие существования экстремума.
- •43. Условный экстремум
- •44. Метод наименьших квадратов.
- •45. Первообразная
-
Понятие функции одного переменного. Виды и способа задания функции
Если каждому элементу х множ-ва Х (х є Х) ставится в соответствие вполне определённый элемент у множ-ва У (у є У), то говорят, что на множ-ве Х задана функция у = f(x). При этом х назыв. независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответсвия. Множ-во Х назыв. областью определения, а множ-во У – областью значений функции.
Способы задания фун-ий.
а)аналитический, если фун-ия задана формулой у = f(x)
б)табличный способ. Состоит в том, что фун-ия задаётся таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения фун-ии f(x).
в)графический. Состоит в изображении графика фун-ии – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значения фун-ии f(x).
г)логический
2. Предел функции и его свойства
Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-ие Гейна – для обоснования отсутствия предела.
Свойства предела : предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.
Определение пределов по Гейне. Число А назывется пределом функции f(x) в т x0, если для для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений x, отличных от x0 соответствует последовательность (2), сходящаяся к числу А.
lim x→x0 f(x) = A
-
f(x)=c; любое x0
x1, x2, x3…→x0
c, c, c,c…→c limx→x0c=c
-
f(x)=x; любое x0
x1; x2; x3…→x0
x1; x2; x3…→x0 limx→x0x=x0
Определение пределов по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в т x0, если для любого ε>0 δ=δ(ε), что ля всех x, удовлетворяющих условию или приним. δ – окрестности х0 |x-x0|<δ x≠x0
|f(x)-A|<ε
-δ<x-x0<δ
-δ+x0<x<δ+x0
1) Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2)Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
4)Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
5)Предел частногоПредел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
если
3. Односторонние пределы. Существование предела в точке
Число А называется правым(левым) пределом функции f(x), если для любого ε>0 существует δ=δ(ε), что для всех x, отвеч неравенству x0<x<x0+δ (x0-δ<x<x0) => |f(x)- A|<ε
f(x) всегда имеет предел в т х0 тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый так и левый пределы, при этом они равны.
Сущ-ие предела в точке. Число А назыв. пределом фун-ии f(x) при х, стремящемся к х0 (или точке х0), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющее условию , выполняется неравенство
Обозначается или