7. Первый и второй замечательные пределы

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, называется первым замечательным пределом. Этот предел равен единице.

Предел последовательности

называется вторым замечательным пределом. Этот предел равен числу e:

8. Непрерывные и разрывные функции. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Фун-ия назыв. непрерывной в точке х_0, если она удовлетворяет 3м условиях: 1) определена в точке х₀ (т.е. сущ-ет )) 2) имеет конечный предел фун-ии при 3) этот предел равен значению фун-ии в точке х_0, т.е.

Фун-ия назыв. непрерывной в точке х_0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечное малое приращение фун-ии:

Различают точки разрыва: первого рода (когда сущ-ет конечные односторонние пределы фун-ии слева и справа , не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не сущ-ет). К точкам разрыва первого рода также относятся точки устранимого разрыва, когда предел фун-ии при сущ-ет, но не равен значению фун-ии в этой точке.

Теоремы

1)Если фун-ия непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке

2)Если фун-ция непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M (теорема Вейерштрасса)

3)Если фун-ция непрерывна на отрезке [a;b] и значения её на концах отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка , такая, что (теорема Больцано-Коши)

Разрывная функция - функция, имеющая разрыв в некоторых точках

9. Понятие производной . Геометрический и физический смысл.

Производной фун-ии назыв. предел отношения приращения фун-ии к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел сущ-ет):

Нахождении производ. фун-ии назыв. дифференцированием этой фун-ии.

Геометрич. смысл произв-ой: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к кривой

Физич. смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент :

10. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие

Если фун-ция в точке х имеет конечную производную, то фун-ия назыв. дифференцируемой в этой точке. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение представимо в виде:

Δf =f(x₀ + Δx)−f(x₀) = A·Δx+α(Δх)Δx ,

где A — число, не зависящее от Δх, а α(Δх) – это бмф-я арг Δх

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом

11.Теоремы о производных

Сформулируем некоторые теоремы о производных.

Теорема. Если существуют производные  и функций и , то существует

;

Следствие.  так как  (т.е. постоянный множитель выносится за знак производной.

Теорема. Если функция в точке имеет производную, то она в этой точке непрерывна.

Обратное неверно. На рис. 30 изображена непрерывная функция, у которой в точке нет производной.

Теорема о производной сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция  имеет производную в точке , причем .

Короче:  в произвольной точке .