26.Алгоритм исследования графиков функций

Схема исследования графиков функции y=f(x):

1. Определить область существования функции;

2. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

3. Исследовать функцию на четность и нечетность;

4. Нахождение асимптот

5. Нахождение первой и второй производной

6. Нахождение критических точек (точки в которых первая или вторая производные =0 или не сущ)

7. Построение таблицы значения функции и знаков ее производной

8. Установление интервалов монотонности и выпуклости

9. Определение точек экстремума и перегиба

10. Построение графика

27. Функция двух переменных. Виды и способы задания функции двух переменных

Функция z называется однозначной функцией двух переменных х и у, если к каждой паре значений х и у поставлено в соответствии единственное значение z (z=f(x;y) = z=f(M), где M (x;y)). Способы задания : аналитический, графический, табличный. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл. График функции двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x;y).

28. Предел функции двух переменных в точке

δ- окрестность для х – это интервал. Для двух переменных круг.

Пусть задана функция двух переменных M₀ (x;y). Число А называется пределом функции f(M) в точке М0, если для любого ε>0 существует δ=δ(ε) такое, что для x, принадлеж. ρ(ММ0)<δ за исключением М0 выполняется неравенство │f(М)-А│<ε. Предел ф-ции двух переменных в точке сущ тогда и только тогда, если он сущ по любому направлению и при этом все пределы равны.

29.Повторные пределы: lim _x→x0 lim _y→y0 f(x,y) lim _y→y0 lim _x→x0 f(x,y)

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.

30. Непрерывность функции двух переменных в точке

Функция f(x,y) – непрерывна в М0, если для любого ε>0 существует δ=δ(ε) такое, что для всех xєρ(ММ0)<δ выполняется условие │f(M) – f(M0)│<ε. lim _M→M0 f(M)=f(M0).

31. Частные производные первого порядка

Частной производной от функции z=f(x, y) по независимой переменной x называется конечный предел

lim_∆x→0 f(x+∆x, y)-f(x, y)/∆x=lim_∆x→0 ∆z_x/∆x=∂z/∂x=f’_x(x, y),

вычисленный при постоянном значении y.

Частной производной по y называется конечный предел

lim_∆y→0 f(x, y+∆y)-f(x, y)/∆y= lim_∆y→0 ∆z_y/∆y=∂z/∂y= f’_y(x, y),

вычисленный при постоянной значении x.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

32. Дифференцируемость функции двух переменных в точке

Функция Z(x,y) называется дифференцируемой в точке (х0,у0), если ее полное приращение представлено в виде двух сумм: одна – линейная относительно Δх, Δу; вторая – бесконечно малая величина относительно ρ.

33. производная сложной функции двух переменныхДля нахождения производной от нескольких переменных применяют следующую теорему. Т: Если фун f(U,V), U(x,y), V(x,y) имеют частные производные по своим аргументам, то справедливы следующие формулы:

∂z/∂х=(∂f/∂U)(∂U/∂х)+(∂f/∂V)(∂V/∂x)

∂z/∂y=(∂f/∂U)(∂U/∂y)+(∂f/∂V)(∂V/∂y)     

Доказательство:

∆t ≠0 => ∆x; ∆y => ∆Z

(∆Z=Z`x ∆x + Z`y ∆y + α(ρ) ∆x +β(ρ) ∆y): ∆t

∆Z/∆t = Z`x (∆x/∆t) + Z`y (∆y /∆t) + α(ρ) *(∆x/∆t) + β(ρ)* (∆y /∆t)

lim ∆t→0 ∆Z/∆t = lim ∆t→0 Z`x (∆x/∆t) + lim ∆t→0 Z`y (∆y /∆t) + lim ρ→0 α(ρ)* lim ∆t→0 (∆x/∆t) + lim ρ→0 β(ρ)* lim ∆t→0(∆y /∆t) = Z`x*φ`t + Z`y * ψ`t +0+0