- •Понятие функции одного переменного. Виды и способа задания функции
- •2. Предел функции и его свойства
- •3. Односторонние пределы. Существование предела в точке
- •4. Теоремы о пределах функций
- •5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •6. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций
- •7. Первый и второй замечательные пределы
- •8. Непрерывные и разрывные функции. Классификация точек разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятие производной . Геометрический и физический смысл.
- •10. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие
- •11.Теоремы о производных
- •12. Производная сложной функции.
- •13. Производная обратной функции
- •22. Монотонные функции. Теоремы о функциях непрерывных на отрезках
- •23. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования
- •24. Точки перегиба
- •25. Асимптоты
- •26.Алгоритм исследования графиков функций
- •27. Функция двух переменных. Виды и способы задания функции двух переменных
- •28. Предел функции двух переменных в точке
- •30. Непрерывность функции двух переменных в точке
- •31. Частные производные первого порядка
- •32. Дифференцируемость функции двух переменных в точке
- •34. Производная неявной функции
- •35. Производная по направлению
- •37. Частные производные высших порядков
- •39. Признак полного дифференциала
- •40. Экстремумы функций двух переменных.
- •41.Необходимое условие существования экстремума
- •42. Достаточное условие существования экстремума.
- •43. Условный экстремум
- •44. Метод наименьших квадратов.
- •45. Первообразная
34. Производная неявной функции
Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y)
(с тремя переменными еще)
35. Производная по направлению
Пусть z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y), пусть l0=(cosα, cosβ) – единичный вектор, задающий направление прямой L, проходящей через точку M(x, y). Выберем на прямой L точку M1(x1, y1)= M(x, y)+τ*l0. Рассмотрим приращение функции ∆z=z(M1)-z(M)=f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y) в точке M(x, y).
Предел отношения limτ→0 f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y)/τ, если он существует, называется производной функции z=f(x, y) в точке M(x, y) по направлению l0=(cosα, cosβ) и обозначается ∂z/∂l.
Если функция z=f(x, y) имеет в точке M(x, y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки M(x, y); вычисляется эта производная по формуле ∂z/∂l=∂z/∂x* cosα+∂z/∂y* cosβ, где cosα и cosβ – направляющие косинусы вектора l0.
36. Градиентом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с началом в точке M0, координаты которого равны соответствующим частным производным ∂z/∂x и ∂z/∂y, вычисленным в точке M(x, y).
Градиент обозначается grad z=(∂z/∂x, ∂z/∂y).
Аналогично определяются производная по направлению и градиент для функции трех переменных u=f(x,y,z) в точке M(x, y, z):
∂u/∂l=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂u/∂z*cosγ;
grad u(M)=( ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z), где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы единичного вектора l0. Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u=f(M).
37. Частные производные высших порядков
Пусть функция z=f(x,y) имеет первые частные производные ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y в точке M(x,y) и в каждой точке некоторой окрестности точки M (x,y). Тогда частные производные от частных производных ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) от функции z=f(x,y) в точке M (x,y). Частные производные второго порядка обозначаются
∂/∂x*(∂z/∂x)= ∂2z/∂x2=f’’xx(M); ∂/∂y*(∂z/∂x)= ∂2z/∂x∂y=f''yx(M);
∂/∂x*(∂z/∂y)= ∂2z/∂x∂y=f''xy(M); ∂/∂y*(∂z/∂y)= ∂2z/∂y2=f''yy(M).
Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е. ∂2z/∂x∂y=∂2z/∂y∂x. Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.
38. Теоремы о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
Теорема
Пусть ф-ция Z определена в некоторой областью G и пусть в этой области существуют частные производные 1ого порядка и смешанные производные 2ого порядка, и пусть смеш-ые частные производные непрерывны в точке М0 є G. Тогда в этой точке справедливо следующее равенство: Z``xy(x0;y0) = Z``xy(x0;y0)/
Комментарий: Вопрос и существование и равенстве 2ых смешанных производных связан с существование повторных пределов.
Общая теорема
Пусть функция Z в некоторой областью G и пусть в этой области функция имеет всевозможные частные производные до (k-1) порядка включительно и смешанные производные k-ого порядка, при этом все перечисленные производные являются непрерывными в области G. При этих условиях значения любой k-ой смешанной производной не зависят от того порядка, в котором производится последовательное дифференцирование.