34. Производная неявной функции

Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y)

(с тремя переменными еще)

35. Производная по направлению

Пусть z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y), пусть l⁰=(cosα, cosβ) – единичный вектор, задающий направление прямой L, проходящей через точку M(x, y). Выберем на прямой L точку M₁(x₁, y₁)= M(x, y)+τ*l⁰. Рассмотрим приращение функции ∆z=z(M₁)-z(M)=f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y) в точке M(x, y).

Предел отношения lim_τ→0 f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y)/τ, если он существует, называется производной функции z=f(x, y) в точке M(x, y) по направлению l⁰=(cosα, cosβ) и обозначается ∂z/∂l.

Если функция z=f(x, y) имеет в точке M(x, y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки M(x, y); вычисляется эта производная по формуле ∂z/∂l=∂z/∂x* cosα+∂z/∂y* cosβ, где cosα и cosβ – направляющие косинусы вектора l⁰.

36. Градиентом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с началом в точке M₀, координаты которого равны соответствующим частным производным ∂z/∂x и ∂z/∂y, вычисленным в точке M(x, y).

Градиент обозначается grad z=(∂z/∂x, ∂z/∂y).

Аналогично определяются производная по направлению и градиент для функции трех переменных u=f(x,y,z) в точке M(x, y, z):

∂u/∂l=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂u/∂z*cosγ;

grad u(M)=( ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z), где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы единичного вектора l⁰. Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u=f(M).

37. Частные производные высших порядков

Пусть функция z=f(x,y) имеет первые частные производные ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y в точке M(x,y) и в каждой точке некоторой окрестности точки M (x,y). Тогда частные производные от частных производных ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) от функции z=f(x,y) в точке M (x,y). Частные производные второго порядка обозначаются

∂/∂x*(∂z/∂x)= ∂²z/∂x²=f’’_xx(M); ∂/∂y*(∂z/∂x)= ∂²z/∂x∂y=f''yx(M);

∂/∂x*(∂z/∂y)= ∂²z/∂x∂y=f''xy(M); ∂/∂y*(∂z/∂y)= ∂²z/∂y²=f''yy(M).

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е. ∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x. Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.

38. Теоремы о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

Теорема

Пусть ф-ция Z определена в некоторой областью G и пусть в этой области существуют частные производные 1ого порядка и смешанные производные 2ого порядка, и пусть смеш-ые частные производные непрерывны в точке М0 є G. Тогда в этой точке справедливо следующее равенство: Z``xy(x0;y0) = Z``xy(x0;y0)/

Комментарий: Вопрос и существование и равенстве 2ых смешанных производных связан с существование повторных пределов.

Общая теорема

Пусть функция Z в некоторой областью G и пусть в этой области функция имеет всевозможные частные производные до (k-1) порядка включительно и смешанные производные k-ого порядка, при этом все перечисленные производные являются непрерывными в области G. При этих условиях значения любой k-ой смешанной производной не зависят от того порядка, в котором производится последовательное дифференцирование.