1. Пространство Rn.

Множ-во всех упорядоченных наборов х, с координатами х(x1, x2, … xn) из n-веществен. чисел х_i€ R для всех n € 1;n назыв. n-мерным арифметическим пространством, обознач. Rⁿ Каждая совокупность х назыв точкой или вектором пространства Rⁿ а число х_i-назыв её I координат

Операция сложения и умножения элемента на число вводится как координатное сложение элементов и как умножение каждой координаты на данное число.

Определение Пространство Rⁿ назыв нормированным, если каждому х€ Rⁿ ставится в соответствии неотриц число обозначаемое для всех х€ Rⁿ - ||x|| назыв нормой х и удовлетворяет следующим свойствам

1. ||x||=0↔x=0

2. ||cx||=||c|| ||x|| для всех с€R

3. ||x+y||= ||x||+||y|| для всех х+у€ Rⁿ

Евклидово пространство

- или евклидова норма.

2. Сходимость последовательности в Rn.

{хn} для всех n€N →xk →xk€Rⁿ

{xk}={x1,x2,…xk..}

{xk}={1/n}={1;1/2;1/3…1/n…}

Если каждому натуральному n€N поставлено в соответствии хк€Rⁿ,то говорят,что задана посл-ть эл-тов в Rⁿ.

Посл-ть хк назыв. Сходящейся к последовательности к эл-ту х0€Rⁿ,если числовая посл-ть стремится к 0.{||xk – x0||}→0,т. Е. если для любого ε>0 сущ kn=k0 (ε)€ N для любого k>k0 : ||xk – x0||<ε.

{xk}→x0 при k→∞ limxk=x0 при k →∞

Замечание.При определении сходимости постед. Не имеет значение способ определения нормы.

Теорема.Сходимость по норме эквивалента по координатной сходимости, т.е. limxk=x0 при k →∞ ↔ limxki=x0 iпри k →∞ для любого i=1;n

Замчание 2. С помощью перехода к координатной сходимости доказыв св-ва сходящ посл-тей: 1)о пределе суммы или разности 2х сход посл-тей; 2)о сходимости произведения сход посл-ти из Rm и сходящейся числовой посл-ти.+

3. Открытые,замкнутые.Компактные мн-ва Rn.

Открытым шаром с центром в точке х0 и рарадиусом δ (иии δ–окрестностью точки х0) назыв мн-ва х€Rⁿ такие,что ||х-х0||<δ= В(х0,δ)

Пусть мн-во Gсодержит Rⁿ точка х0-внутр точка мн-ва G,если она содержится в мн-ве G вместе с некоторым открытым шаром.

Мн-во G назыв открытым,если все его точки внутренние.

Точка х0 назыв предельной точкой мн-ва G,если любая δ-окрестность в этой точке содержит точки мн-ва G, отличные от х0.

[Т] Если х0-предельная точка мн-ва G,то сущ посл-ть хк такая,что хк€G,хк≠х0 и сходится к х0.

Мн-во G замкнуто,если оно содержит все свои предельные точки.

Замечание. Св-ва откр и замкнутых мн-в формулируются аналогично случаю пространства Rⁿ.

Огранич и замкнутое мн-во назыв компактным.

[Т] Если К-компактное мн-во,это эквивалентно тому,что из любой посл-ти {xk} можно выделить сходящ посл-ть,которая сходится к х0€К.

4. Понятие функции n переменный. Предел функции n переменных.

Ф-ии нескольких(многих) пер-ных,заданных на мн-ве G<Rⁿ, назыв правтло или закон,согласно которому в каждой точке х€Rⁿ ставится в соотвествии единственное число u€R’.

U=f(x)=x вектор=f(x1;x2;…xn)

G-область опр-ния,{u;u=f(x),x€R}-область значения.

По Гейне. Число b называют пределом функции f(M) в точке А (при МА), если для любой последовательности точек {Mn} из множества {M}, сходящейся к точке А (Mn Отлична от А), соответствующая последовательность значений функции {f(Mn)} сходится к b.

По Коши: Число b называется пределом функии f(M) в точке А, если для любого числа >0 можно найти такое число >0, что для всех точек М множества {M} из -окрестности точки А (удовлетворяющих неравенству р(М,А)<) выполняется неравенство |f(M)-b|<

Замечание. Также,как и в случае одной переменной,доказывается эквивалентность опр-ния предела по Коши и по Гейне,а также св-ва пределов,связанные с арифметич действиями.

[T] Пусть две функции f(M) и g(M) определенные на одном множестве {M}, имеют соответственно пределы b и с в точке А. Тогда функции f(M)g(M), f(M)g(M) и f(M)\g(M) (при с0) имеют пределы в точке А, равные соответственно bc, bc и b\c.

Замечание2.Опр-е не зависит от выбора нормы Rⁿ.

Замечание3. Аналогично случаю ф-ии одной переменной определяется в точке х0 справа и слева и пределы на ∞.

Ф-ия f(x) назыв непрерывной в точке х0€G,если limf(x)=f(x0) при х→х0,т.е.

Функция u=f(M) называется б-м в точке А, если ее предел в ней равен 0

Функция u=f(M) называется б-б в точке А, если ее предел в ней бесконечен

Непрерывность функции N переменных.

Непрерывность функции нескольких переменных

1)Пусть функция u=f(M) определена на множестве {M} н-мерного евклидова пространства. Возьмем точку А{M}, любая -окрестность которой содержит точки множества М.

2)Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке

Следствие: для непрерывных функций знак предела и функции можно поменять местами.

3)Непрерывность функции по Гейне: Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если для любой последовательности {Mn} сходящейся к А, соответствующая ей последовательность {f(Mn)} сходится к f(A)

4) Функция u=f(M) называется непрерывной в точке K, если для любого >0 найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех M принадлежащих {M}, удовлетворяющих условию р(М,А)< выполняется неравенство |f(М)-f(А)|<

5)Функция u=f(M) непрерывна на множестве {M} если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точки н-мерного евклидово пространства для которых функция u=f(M) не обладает свойством непрерывности называются точками разрыва этой функции.

Приращением или полным приращением функции u=f(M) в точке А называется разность u=f(M)-f(A)

Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при M->0.

Непрерывность функции n-переменных по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных.

Рассмотрим частное приращение функции в точке М (X1,X2,..Xn)

Зафиксируем все переменные этой функции, кроме одной, аргументу X1 дадим приращение x1, имеем:

u=f(x1+x1, x2+x2,…Xn)-f(x1, x2,…Xn)

U=f(x1, x2,…xn)

x1U=f(x1+x1, …xn)-f(x1, x2,…Xn)

Причем x1 М’(x1+x1,…xn){M

Аналогично выводится частное приращение функции по остальным переменным

_хnU=f(X1,x2, …, Xn-1, Xn+ xn)-F(x1, x2,…Xn)

Функция u=f(x1,x2,…xn) называется непрерывной в т М(x1, x2, …xn) по переменной Хк, если частное приращение этой функции хкU является б-м функцией при хк->0

Для непрерывных функций справедливые теоремы аналогичные теоремам о непрерывных функциях одной переменной:

1. функций Пусть функции f(M) и g(M) непрерывны на одном и том же множестве {M}

Тогда функции f(M)g(M), f(M)*g(M) и f(M)\g(M) также непрерывна в точке F

(частное при g(A))

Также справедливы:

1. теорема об устойчивости знака непрерывной функции

2. 2 теорема Больцано-Коши о прохождении любой непрерывной функции через промежуточ-

ное значение

3. 1 и 2 торемы Вейерштраса.