Вопрос 1. Определение множества
Множеством называется совокупность некоторых элементов. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т. п.
Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.
Например, перечислением заданы следующие множества:
множество
чисел;
В
общем случае множество элементов х
с помощью
определяющего свойства
записывается
в виде
.
Если
множество не содержит ни одного элемента,
то оно называется пустым множеством и
записывается
.
Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении.
квантор общности, используется вместо слов «для всех
квантор существования, используется вместо слов «существует»
1.1.2. Операции над множествами
Два множества А и В равны,если они состоят из одних и тех же элементов.
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Разностью множеств А и В называется множество А \ В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Симметрической разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств А \ В и В \А , т. е.
А Δ В = (А \ В) (В \А).
1.1.3. Свойства операций над множествами
1. Свойство перестановочности (коммутативность) для объединения и пересечения множеств, т. е. А В = В А; А В = В А.
2. Сочетательное свойство (ассоциативность) для объединения и пересечения множеств, т. е. (А В) С= А (В С); (А В) С= А (ВС).
3. Распределительное свойство (дистрибутивность) для объединения и пересечения множеств:
1) (А В) С= (А С) (В С);
Разность множеств не обладает этими свойствами.
1.1.4. Декартово произведение множеств
Декартовым
произведением множеств называется
множество точек
.
1.1.5. Модуль числа, его свойства
По
определению
1)
;
2)
;
3)
или
;
4)
.
1.1.6. Грани числовых множеств
Число
К
называется верхней
гранью
множества А,
если
.
Если С > 0, то К + С также является верхней гранью этого множества.
Число
k
называется нижней
гранью
множества А,
если
.
Если С
> 0, то k
С также
является нижней гранью этого множества.
1.1.7. Счетные и несчетные множества
Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.
Если это соответствие взаимнооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А В или А В.
Последовательностью
называется множество чисел, перенумерованных
с помощью натуральных чисел и расставленных
в порядке возрастания их номеров
.
Счетным множеством называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел.
1.2. Функции, их классификация
Переменная величина y называется функцией переменной величины x с областью определения D и множеством значений E, если для любого значения х, принадлежащего множеству D ( x D) существует единственное значение y, принадлежащее множеству Е (y E)
Если
между множествами D
и E
можно установить взаимно однозначное
соответствие, то существует обратная
функция
или
.
Если
аргумент функции
является в свою очередь функцией
переменной величины х
,
то
называется
сложной
функцией.
Здесь функции и называются составляющими функциями.
Основными элементарными функциями являются следующие:
1)
степенная функция;
2)
показательная функция;
3)
логарифмическая функция;
4)
тригонометрические функции;
5)
обратные тригонометрические функции.
Функция называется элементарной, если она образована из основных элементарных с помощью конечного числа алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень.
Функция называется алгебраической, если она образована из независимой переменной x с помощью конечного числа алгебраических действий Функция называется трансцендентной, если не является алгебраической.
Алгебраическая функция называется иррациональной, если она содержит операцию извлечение корня.