2.5. Исследование функций

2.5.1. Необходимый и достаточный признаки монотонности функций

Функция называется монотонно возрастающей (рис.29) (убывающей (рис.30)) на интервале (a, b), если , ( ).

Теорема 2.3. Необходимый признак монотонности функции. Если функция монотонно возрастает (убывает) на интервале (a, b), то ее производная в любой точке этого интервала неотрицательная (неположительная).

Теорема 2.4. Достаточный признак монотонности функции. Если на интервале (a, b) для любого значения х производная функции положительная (отрицательная ), то функция монотонно возрастает (убывает).

Вопрос 31. Определение экстремума функции

Рис. 31

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует некоторая окрестность этой точки , что для любой точки этой окрестности ( ) (Рис. 31).

Максимум и минимум функции называются экстремумами.

Необходимый признак экстремума функции

Теорема 2.5. Если точка является точкой экстремума функции , то производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Вопрос 32.Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)

Теорема 2.6. Если в окрестности критической точки функция является непрерывной, а так же дифференцируемой в этой окрестности, за исключением быть может самой точки, и при переходе х через производная изменяет знак, то является точкой локального экстремума; причем, если знак изменяется с «+» на «», то  точка максимума, если знак изменяется с «» на «+», то  точка минимума.

Второй достаточный признак экстремума функции

(с использованием производной второго порядка)

Теорема 2.7. Если функция является непрерывной и дважды дифференцируемой в окрестности точки , производная функции в этой точке равна нулю , а производная второго порядка отлична от нуля , то является точкой локального экстремума функции; причем, если , то имеет место минимум, а если  максимум.

2.5.6. Определение выпуклости, вогнутости

графика функции, точки перегиба

Рис. 36

График функции называется выпуклым (вогнутым) вверх на некотором интервале, если он находится ниже (выше) касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 36).

33.Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции

Теорема 2.8. Если функция является непрерывной и дважды дифференцируемой на интервале и производная второго порядка в любой точке этого интервала положительная (отрицательная ), то график функции является вогнутым (выпуклым)

на этом интервале.

34. Необходимый признак существования точки перегиба

Теорема 2.9. Если точка является точкой перегиба графика функции , то производная функции второго порядка в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых либо равняется нулю, либо не существует, называются критическими для производной второго порядка.

Достаточный признак существования точки перегиба

Теорема 2.10. Если в окрестности критической точки функция является непрерывной, а так же дважды дифференцируемой в этой окрестности, за исключением быть может самой точки, и при переходе х через производная второго порядка изменяет знак, то является точкой перегиба.