2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
Рассмотрим три функции.
1.
Функция
является непрерывной на отрезке [1;
1] и принимает равные значения в граничных
точках
.
Однако функция не имеет производной в
точке х
= 0, так как при х
> 0
,
а при х
< 0
.
Нарушение условия дифференцируемости
функции только в одной внутренней точке
отрезка приводит в данном случае к
отсутствию точки, в которой производная
функции равна нулю, а касательная к
графику горизонтальна (рис. 24).
3.
Функция
на
отрезке [1;
1] удовлетворяет всем требованиям теоремы
Ролля. Функция является непрерывной на
отрезке [1;
1], принимает равные значения в граничных
точках отрезка
и ее производная
существует в каждой внутренней точке
отрезка. В граничных точках отрезка
производная не существует (бесконечная).
В теореме Ролля не требуется
дифференцируемости функции в граничных
точках отрезка. Всего этого достаточно,
чтобы существовала внутренняя точка
отрезка х
= 0, в которой производная равна нулю, а
касательная параллельна оси Ох
(рис. 26).
24. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
Теорема
Лагранжа.
Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируемая в каждой его внутренней
точке, то на интервале (a,
b)
найдется такая точка х
= с,
что
.
2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
На
основании формулы
можно утверждать следующее.
Рис. 28 |
Если
график функции y
= f(x)
непрерывный на отрезке
и гладкий на интервале
|
,
то на этом интервале найдется такая
точка
,
в которой касательная параллельна
хорде, стягивающей граничные точки
графика функции (рис. 28).
2.3.6. Теорема Коши
Теорема
Коши. Если
функции y
= f(x)
и y
= g(x)
непрерывные на отрезке
,
дифференцируемые в каждой внутренней
точке этого отрезка и при этом производная
y
= g(x)
ни в одной из этих точек не обращается
в нуль (
),
то найдется такая внутренняя точка
,
что
.
Д
о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что
,
иначе по теореме Ролля существовала бы
такая точка
,
в которой
,
что противоречит условию теоремы.
Составим вспомогательную функцию y = F(x), которая будет удовлетворять условиям теоремы Ролля.
.
Значения функции y = F(x) в точках х = а и х = b равны нулю. Действительно,
,
.
Функция y = F(x) является дифференцируемой, так как является линейной комбинацией дифференцируемых функций y = f(x) и y = g(x). Находим
.
По теореме Ролля существует точка , в которой производная функции y = F(x) равняется нулю
.
Отсюда получаем
.
2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
Теорема
2.1. Если в
некоторой окрестности точки
функции y
= f(x)
и y
= g(x)
определены и дифференцируемые, причем
,
пределы функций при
равны нулю, т. е.
,
то предел отношения этих функций
равняется пределу отношения их производных
,
если этот предел существует (конечный или бесконечный).
Правило
Лопиталя справедливо также в случае
когда
.
Покажем
Правило
Лопиталя справедливо так же, если
,
т. е имеет место неопределенность типа
,
.
Пример
2.10.
.
Если
при нахождении пределов неопределенность
имеет вид произведения
,
то прежде, чем применять правило
Лопиталя, ее нужно привести к
неопределенностям типа частного
или
.
Пример
2.13.
.
Если при применении правила Лопиталя под пределом имеются некоторые функции, которые не приводят к неопределенности, то эти функции нужно выделить в отдельный предел, т. е. разбить предел на два предела.
Пример 2.15.
.
Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа степени
Если
при нахождении пределов имеет место
неопределенность типа степени вида
,
то ее необходимо привести к неопределенности
типа частного. Пусть имеет место
неопределенность типа степени при
нахождении предела
.
Используем определение логарифма,
преобразуем данный предел
.
Так как показательная функция является непрерывной, то можно перейти к пределу в показателе степени, т. е.
.
При
нахождении предела
неопределенность имеет тип произведения,
которую необходимо свести к неопределенности
типа частного.
Пример
2.16.
.
.
.