Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции
Определение.
Функция
называется дифференцируемой в точке
,
если ее приращение в этой точке можно
представить в виде
,
где
,
при
.
Если функция дифференцируемая в точке , то она имеет конечную производную в этой точке.
Рассмотрим, как связана дифференцируемость функции с ее непрерывностью.
Если
функция, дифференцируемая в точке, то
она непрерывна в этой точке. Действительно,
,
что соответствует определению 1
непрерывности функции в точке.
Однако, не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.
Непосредственное нахождение производной
Найти производные функций, используя определение производной.
1.
.
Производная постоянной равна нулю.
2.
.
Геометрический смысл производной
производная
функции
в точке
равна тангенсу угла наклона касательной
к графику этой функции в данной точке
(рис. 18).
Используем этот факт, запишем уравнение касательной в точке
.
Механический смысл производной
Пусть S = S(t) является функцией зависимости пути от времени. Тогда
.
Отсюда следует, что производная функции равняется мгновенной скорости изменения функции.
Вопрос 16.Вывод производных основных элементарных функций
Получим формулы для нахождения производных основных элементарных функций.
1.
.
При нахождении производной функции
используем определение производной,
формулы преобразования тригонометрических
выражений и первый замечательный предел.
.
2.
.
Используем формулы приведения и
производную сложной функции, получим
.
3.
.
Используем формулу дифференцирования
частного, получим
.
4.
.
.
При выводе формул нахождения производных обратных тригонометрических функций используем взаимосвязь производных взаимно обратных функций и формулы взаимосвязи тригонометрических функций.
5.
.
Для
обратной функцией является
.
.
6.
.
.
7.
.
.
8.
.
.
9.
.При
нахождении производной
логарифмической функции используем
определение производной и второй
замечательный предел.
.
В
частном случае, когда a
= e,
.
10.
При нахождении производной показательной
функции
используем так называемое логарифмическое
дифференцирование. Для этого логарифмируем
равенство
,
получаем
.
Это равенство дифференцируем; при этом
учитываем, что
сложная функция.
.
В
частном случае, когда a
= e
,
.
11.
Производную степенной функции
найдем так же, используя логарифмическое
дифференцирование.
.
В
практических задачах часто встречаются
производные от функций
и
,
которые полезно помнить.
.
.
12.
Производная обобщенно-показательной
(показательно-степенной) функции
.
Используем определение логарифма,
представим функцию в виде
Эту функцию дифференцируем как сложную
показательную функцию.
=
=
.
Как можно заметить производная обобщенно-показательной функции равняется сумме производных как показательной и как степенной функций.
Например:
1)
;