- •Вопрос 1. Определение множества
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Свойства операций над множествами
- •1.2. Функции, их классификация
- •1.3. Предел последовательности
- •Вопрос4
- •Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции
- •Вопрос 6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Вопрос 7. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции
- •Вопрос8 Первый замечательный предел
- •Вопрос 9. Второй замечательный предел
- •1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях
- •Вопрос 10.Сравнение бесконечно малых функций
- •Вопрос 11.Непрерывность функции в точке и на отрезке.
- •Вопрос 12.Свойства непрерывных функций
- •Вопрос 13.Точки разрыва функций
- •Вопрос14.Определение производной функции
- •Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции
- •Вопрос 16.Вывод производных основных элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •2.1.9. Производные высших порядков
- •Вопрос 20. Эластичность функции
- •2.1.11. Геометрический смысл эластичности
- •2.2.2. Геометрический смысл дифференциала
- •2.2.3. Свойства дифференциала
- •Вопрос 22. Применение дифференциала для приближенных вычислений
- •Вопрос 23.Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.3.1. Теорема Ролля
- •2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
- •2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
- •24. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
- •2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •2.3.6. Теорема Коши
- •2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- •Вопрос 27. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа
- •Вопрос 28. Формула Маклорена
- •2.4.4. Применение формулы Маклорена для вычисления пределов и значений функций
- •2.5. Исследование функций
- •2.5.1. Необходимый и достаточный признаки монотонности функций
- •Вопрос 31. Определение экстремума функции
- •Вопрос 32.Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)
- •34. Необходимый признак существования точки перегиба
- •35.Асимптоты графика функции
- •2.5.11. Построение графика функции
- •3.4. Свойства пределов
- •38.Бесконечно малые функции нескольких переменных
- •47. . Производная функции по направлению
Правила дифференцирования
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Таблица производных
1. .
2. . 2а. . 2б. . 2в. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. .
16. .
2.1.9. Производные высших порядков
Производной n-го порядка называется производная от производной
(n1)- го порядка.
Для того, чтобы найти производную n-го порядка функции , необходимо найти несколько производных (первого, второго, третьего порядка и т. д.), уяснить закономерность их образования в зависимости от порядка n и записать .
Пример 2.2. Найти производные n-го порядка для функций: , и .
1. .
2. , , , …, .
3. , , ,
= =
=
Вопрос 20. Эластичность функции
Определение. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению независимой переменной при , т. е.
.
Ввиду того, что эластичность можно записать в виде .
Функция называется эластичной, если , неэластичной, если и нейтральной, если .
2.1.11. Геометрический смысл эластичности
Ввиду того, что производная функции равняется тангенсу угла наклона касательной, формулу для вычисления эластичности можно преобразовать.
,
где АМ и ВМ – расстояния по касательной от точки касания до пересечения с осями координат Ох и Оy соответственно (рис. 19, рис. 20).
Эластичность функции в точке M (x, y) равна отношению расстояний по касательной от этой точки до осей координат Оy и Оx соответственно.
Если точки пересечения касательной в точке M (x, y) с осями координат лежат по одну сторону от этой точки, то эластичность функции в этой точке является положительной величиной. Если же точки пересечения касательной в точке M (x, y) с осями координат лежат по разные стороны от этой точки, то эластичность функции в этой точке является отрицательной величиной.
Рис. 19 |
Рис. 20 |
2.1.12. Экономический смысл эластичности
Приближенно можно записать
.
Если , то .
Эластичность определяет процент относительного изменения функции при изменении относительной величины независимой переменной на 1%.
2.1.13. Свойства эластичности функции
Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции. Получим формулы для эластичности суммы, произведения, частного и обратной функции.
1. .
2. .
3. .
4. .
2.2. Дифференциал функции одной переменной
2.2.1. Определение дифференциала функции
Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке при бесконечно малом приращении независимой переменной x называется бесконечно малая функция dy прямо пропорциональная x и отличающаяся от приращения функции y на бесконечно малую функцию (x) более высокого порядка малости по сравнению с x.
Так как , где , то дифференциал называют главной линейной частью приращения функции.