- •Вопрос 1. Определение множества
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Свойства операций над множествами
- •1.2. Функции, их классификация
- •1.3. Предел последовательности
- •Вопрос4
- •Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции
- •Вопрос 6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Вопрос 7. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции
- •Вопрос8 Первый замечательный предел
- •Вопрос 9. Второй замечательный предел
- •1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях
- •Вопрос 10.Сравнение бесконечно малых функций
- •Вопрос 11.Непрерывность функции в точке и на отрезке.
- •Вопрос 12.Свойства непрерывных функций
- •Вопрос 13.Точки разрыва функций
- •Вопрос14.Определение производной функции
- •Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции
- •Вопрос 16.Вывод производных основных элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •2.1.9. Производные высших порядков
- •Вопрос 20. Эластичность функции
- •2.1.11. Геометрический смысл эластичности
- •2.2.2. Геометрический смысл дифференциала
- •2.2.3. Свойства дифференциала
- •Вопрос 22. Применение дифференциала для приближенных вычислений
- •Вопрос 23.Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.3.1. Теорема Ролля
- •2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
- •2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
- •24. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
- •2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •2.3.6. Теорема Коши
- •2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- •Вопрос 27. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа
- •Вопрос 28. Формула Маклорена
- •2.4.4. Применение формулы Маклорена для вычисления пределов и значений функций
- •2.5. Исследование функций
- •2.5.1. Необходимый и достаточный признаки монотонности функций
- •Вопрос 31. Определение экстремума функции
- •Вопрос 32.Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)
- •34. Необходимый признак существования точки перегиба
- •35.Асимптоты графика функции
- •2.5.11. Построение графика функции
- •3.4. Свойства пределов
- •38.Бесконечно малые функции нескольких переменных
- •47. . Производная функции по направлению
Вопрос 11.Непрерывность функции в точке и на отрезке.
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и бесконечно малому приращению независимой переменной соответствует бесконечно малое приращение функции y, т. е. .
Также, если функция непрерывная, то предел от функции равен функции от предела независимой переменной, т. е. можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и предел функции в этой точке равен значению функции в предельной точке, т. е. .
Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонние пределы функции в граничных точках равны значениям функции в этих точках, т. е. , .
Действия над непрерывными функциями
Теорема 1.11. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке также непрерывны следующие функции:
1) ;
2) ;
3) , где .
Непрерывность элементарных функций
1. Многочлен является непрерывной функцией, так как он образован с помощью алгебраических действий сложения и умножения непрерывных функций: постоянных коэффициентов и функции y = х (теорема 1.11)..
3. Докажем непрерывность функции y = lnx.
Найдем
.
Здесь был использован второй замечательный предел.
Аналогично можно доказать непрерывность других элементарных функций.
Вопрос 12.Свойства непрерывных функций
Свойство 1. Функция y = f(x) непрерывная на отрезке [a, b] принимает свое наибольшее M и наименьшее m значения на этом отрезке.
Свойство 2. Функция непрерывная на отрезке хотя бы один раз принимает любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями.
Свойство 3. Если непрерывная функция в граничных точках отрезка принимает значения противоположных знаков, то она на этом отрезке хотя бы один раз обращается в нуль.
Свойство 4. Если функция y = f(u) непрерывна в точке , а функция u = φ (u) непрерывна в точке , то сложная функция является непрерывной в точке .
Вопрос 13.Точки разрыва функций
Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если в этой точке функция не является непрерывной.
Определение 1. Точка называется устранимой точкой разрыва функции y = f(x), если существуют односторонние пределы функции в этой точке, равные между собой, но не равные значению функции в этой точке .
Определение 2. Точка называется точкой разрыва функции y = f(x) первого рода, если существуют односторонние пределы функции в этой точке, не равные между собой, т. е. (рис. 11, рис. 12).
Определение 3. Точка называется точкой разрыва функции y = f(x) второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (рис. 13, рис. 14).
Вопрос14.Определение производной функции
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при , если этот предел существует (конечный или бесконечный), т. е.
.