35.Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближаются точки кривой при удалении их в бесконечность.

Кривая может иметь вертикальные и наклонные асимптоты. Вертикальные асимптоты могут существовать только в точках разрыва функции . Чтобы определить, имеется ли вертикальная асимптота в точке разрыва функции необходимо найти односторонние пределы

.

Рис. 42

Наклонные асимптоты ищут в виде . В соответствии с определением асимптоты должен равняться нулю предел разности ординат функций и при , т. е. или (рис. 42) .

В этом пределе вынесем за скобки х, получим . Так как , то , а . Отсюда получаем формулу для нахождения углового коэффициента асимптоты . Если этот предел существует, то можно искать отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси Oy. Из равенства находим .

Таким образом, чтобы найти наклонную асимптоту, необходимо сначала найти ее угловой коэффициент k, а затем, если он существует, искать отрезок b. График функции имеет асимптоту только тогда, когда k и b принимают конечные значения. Необходимо так же иметь в виду, что для одной и той же функции значения k и b могут различаться в зависимости от того к какой бесконечности стремится х, или , или .

2.5.11. Построение графика функции

Будем использовать следующую общую схему исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить общий вид функции. Если , то функция четная; если  функция нечетная; если  периодическая (а – период); иначе будем функцию называть общего вида (ФОВ).

3. Найти точки пересечения с осями координат.

4. Найти вертикальные и наклонные асимптоты.

5. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции (исследование с помощью первой производной).

6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба (исследование с помощью производной второго порядка).

7. Построить график.

36. Определение функции нескольких переменных. Переменная величина u называется функцией переменных величин с областью опре-деления D и множеством значений E, если любой точке М( ), принадлежащей области D, соответствует единственное значение u, принадлежащее множеству Е.Записывают ( ) или u= u( ).

Для простоты изложения обычно рассматривают функцию двух переменных. Обобщение результатов на большее число переменных не представляет труда.Для изображения функции 2-х и 3-х переменных используют линии и поверхности уровня.

Линией уровня функции называется множество точек плоскости , в которых функция имеет постоянное значение , с = const. Например, для функции линиями уровня являются окружности на плоскости

Поверхностью уровня функции 3-х переменных называется множество точек трехмерного пространства , в которых функция принимает постоянное значение, т. е. f = c, с = const. Например, для функции поверхностями уровня явля-ются сферы r = const.

37. Определение предела функции нескольких переменных по Коши на языке « ». Число b называется пределом функции при , , если для любого  больше нуля существует такое , зависящее от , что если х принадлежит -окрестности , y принадлежит -окрестности , то значение функции принадлежит -окрестности числа b.

С помощью кванторов данное определение можно записать так

,  .

Множество точек плоскости Oxy, удовлетворяющее неравенству , называется -окрестностью точки .

Учитывая это, определение предела функции можно записать следующим образом

.

Можно также записать по другому,

.

Определение предела функции нескольких переменных при имеет вид

.