4. Теоремы о пределах функций

*пусть f(x) g(x) имеют в точке х0 пределы, соотв В и С

lim _x→x0f(x)=B lim _x→x0g(x)=C

f(x)±g(x)=B+C

f(x)*g(x)=B*C

f(x)/g(x) (если g(x)≠0)=B/C

Следствие

Постоянный множитель можно выносить за знак предела

*пусть функции f(x) g(x) k(x) оперделены в некоторой окрестности т х0 за искл самой х0 *пусть функции f(x) и k(x) имеет в точке х0 предел А и пусть имеет место неравенство f(x)≤g(x)≤k(x), тогда limg(x)_x→x0=A

*будем говорить, что f(x)/g(x) есть неопределенность вида 0/0 или бесконечность/бесконечность если числитель и знаменатель одновременно стремятся к 0 или бесконечности lim_{x→бесконечности}Pn(x)/Qm(x)=

1)если m=n отношение коэф при х в макс степени

2)Если n>m –бесконечность

3)если n<m 0

* фун-ия не может иметь более одного предела

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

F(x) называется бесконечно малой функцией в точке х0, если lim_x→x0f(x)=0

α(x) β(x) γ(x)

Для выполнения равенства lim_x→x0f(x)=А необходимо и достаточно α(x)= A-f(x) была бесконечно малой при х→х0

ТЕОРЕМА алгебраич. Суммами произведений конечного числа бесконечно малых функций в т. Х0, а также произведений бесконечно малых функций на огранич есть бм функция

Бесконечно большая функция в т х0 – это функция f(x), если для любого существующего ε>0 сущ δ=δ(ε), что х€|x-x0|<δ, x€x0 => |f(x)|>ε

lim_x→x0f(x)=бесконечность 1/бмф-я=ббф-я

Фун-ия назыв. бесконечно большой при , если для любого, сколь угодно большого положительного числа М>0, найдётся такое положит. число , что для всех х ≠ х₀ и удовлетворяющ. условию , будет верно неравенство

Св-ва:

1) Произведение б.б.величины на фун-ию, предел котор. отличен от нуля, есть величина бесконечно большая

2) Сумма б.б. величины и ограниченной фун-ии есть величина бесконечно большая

3) Частное от деления б.б величины на фун-ию, имеющ. предел, есть величина бесконечно большая

Фун-ия назыв. бесконечно малой величиной при , или при , если её предел равен нулю:

Фун-ия назыв. бесконечно малой при , если для любого, даже сколь угодно малого положит. числа , найдётся такое положит. число , что для всех х ≠ х₀ и удовлетворяющ. условию

Св-ва:

1) Алгебраическая сумма конечного числа б.м.величин есть величина бесконечно малая

2) Произведение б.м.величины на ограниченную фун-ию есть величина бесконечно малая

3) Частное от деления б.м.величины на фун-ию, предел котор. отличен от нуля, есть величина бесконечно мала

6. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций

Функция α_n называется бесконечно малой функцией при x→x₀, если ее предел равен 0.

Если α(x) и β(x) – бесконечно малые функции и lim_x→x0 β(x)/α(x)=0, то функция β(x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости относительно α(x), что записывается в виде β=o(α).

Если lim_x→x0 β(x)/α^k(x)=A (отличное от 0 конечное число), то β(x) называется бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно α(x).

Если lim_x→x0 β(x)/α(x)=1, то β(x) и α(x) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями: β(x)~α(x).

, то это бесконечно малые фун-ии одного порядка