39. Признак полного дифференциала

Если частные производныенепрерывны в т. М(х,у), то функция z =(х, у) дифференцируема в этой точке Аналогично для функциивводится понятие дифференцируемости и полного дифференциала Необходимое условие)Для того, чтобы являлось в некоторой области G полным дифференциалом некоторой функции u=F(x,y), необходимо, чтобы в этой области

(х,у Î G)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть (14.11) - полный дифференциал функции u = F(x,y). Имеем

.

Отсюда в силу единственности дифференциала получим

, .

Дифференцируя первое по у, а второе - по х, будем иметь

, .

Но, так как для непрерывных функций результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, то получаем (*)

.

С л е д с т в и е. Если условие (*) не выполнено, то выражение (14.4) не является полным дифференциалом.

40. Экстремумы функций двух переменных.

Функция z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M₀(x₀,y₀), если для любой точки M (x,y), находящейся в некоторой p-окрестности точки M₀(x₀,y₀), выполняется условие f(x₀,y₀)>f(x,y) (f(x₀,y₀)>f(x,y)); p-окрестность можно представить множеством точек M (x,y), координаты которые удовлетворяют условию √(x-x₀)²+(y-y₀)² < p, где p – положительное достаточно малое число.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а M₀(x₀,y₀) – экстремальной точкой.

41.Необходимое условие существования экстремума

Теорема (необходимые условия экстремума). Если z=f(x,y) – дифференцируемая функция и достигает в точке M₀(x₀,y₀) экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

∂z(M₀)/ ∂x=0 , ∂z(M₀)/ ∂y=0.

Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль (или не существуют), называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.

Пусть M₀(x₀,y₀) – стационарная точка функции z=f(x,y). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке M₀(x₀,y₀):

∂²z(M₀)/ ∂x²=A; ∂²z(M₀)/ ∂x∂y=B; ∂²z(M₀)/ ∂y²=C;

а затем дискриминант ∆=AC-B². Тогда достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) в стационарной точке M₀(x₀,y₀) запишутся в следующем виде:

1) ∆>0 – экстремум есть, при этом, если A>0 (или С>0 при A=0), в точке M₀(x₀,y₀) функция имеет минимум, а если A<0 (или C<0 при A=0) – максимум;

2) ∆<0 – экстремума нет;

3) ∆=0 – требуются дополнительные исследования.

42. Достаточное условие существования экстремума.

Пусть M₀(x₀,y₀) – стационарная точка функции z=f(x,y). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке M₀(x₀,y₀):

∂²z(M₀)/ ∂x²=A; ∂²z(M₀)/ ∂x∂y=B; ∂²z(M₀)/ ∂y²=C;

а затем дискриминант ∆=AC-B². Тогда достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) в стационарной точке M₀(x₀,y₀) запишутся в следующем виде:

1) ∆>0 – экстремум есть, при этом, если A>0 (или С>0 при A=0), в точке M₀(x₀,y₀) функция имеет минимум, а если A<0 (или C<0 при A=0) – максимум;

2) ∆<0 – экстремума нет;

3) ∆=0 – требуются дополнительные исследования.