Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Матан new version.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
19.12.2018
Размер:
944.13 Кб
Скачать

39. Признак полного дифференциала

Если частные производныенепрерывны в т. М(х,у), то функция z =(х, у) дифференцируема в этой точке Аналогично для функциивводится понятие дифференцируемости и полного дифференциала Необходимое условие)Для того, чтобы являлось в некоторой области G полным дифференциалом некоторой функции u=F(x,y), необходимо, чтобы в этой области

(х,у Î G)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть (14.11) - полный дифференциал функции u = F(x,y). Имеем

.

Отсюда в силу единственности дифференциала получим

, .

Дифференцируя первое по у, а второе - по х, будем иметь

, .

Но, так как для непрерывных функций результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, то получаем (*)

.

С л е д с т в и е. Если условие (*) не выполнено, то выражение (14.4) не является полным дифференциалом.

40. Экстремумы функций двух переменных.

Функция z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0,y0), если для любой точки M (x,y), находящейся в некоторой p-окрестности точки M0(x0,y0), выполняется условие f(x0,y0)>f(x,y) (f(x0,y0)>f(x,y)); p-окрестность можно представить множеством точек M (x,y), координаты которые удовлетворяют условию √(x-x0)2+(y-y0)2 < p, где p – положительное достаточно малое число.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, а M0(x0,y0) – экстремальной точкой.

41.Необходимое условие существования экстремума

Теорема (необходимые условия экстремума). Если z=f(x,y) – дифференцируемая функция и достигает в точке M0(x0,y0) экстремума, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:

∂z(M0)/ ∂x=0 , ∂z(M0)/ ∂y=0.

Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль (или не существуют), называются критическими или стационарными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных условий существования экстремума функции двух переменных.

Пусть M0(x0,y0) – стационарная точка функции z=f(x,y). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке M0(x0,y0):

2z(M0)/ ∂x2=A; ∂2z(M0)/ ∂x∂y=B; ∂2z(M0)/ ∂y2=C;

а затем дискриминант ∆=AC-B2. Тогда достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) в стационарной точке M0(x0,y0) запишутся в следующем виде:

1) ∆>0 – экстремум есть, при этом, если A>0 (или С>0 при A=0), в точке M0(x0,y0) функция имеет минимум, а если A<0 (или C<0 при A=0) – максимум;

2) ∆<0 – экстремума нет;

3) ∆=0 – требуются дополнительные исследования.

42. Достаточное условие существования экстремума.

Пусть M0(x0,y0) – стационарная точка функции z=f(x,y). Для ее исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка в точке M0(x0,y0):

2z(M0)/ ∂x2=A; ∂2z(M0)/ ∂x∂y=B; ∂2z(M0)/ ∂y2=C;

а затем дискриминант ∆=AC-B2. Тогда достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) в стационарной точке M0(x0,y0) запишутся в следующем виде:

1) ∆>0 – экстремум есть, при этом, если A>0 (или С>0 при A=0), в точке M0(x0,y0) функция имеет минимум, а если A<0 (или C<0 при A=0) – максимум;

2) ∆<0 – экстремума нет;

3) ∆=0 – требуются дополнительные исследования.