2. Московский Государственный Университет Экономики, Статистики и Информатики

4. Кафедра Прикладной математики

6. Предмет: Исследование операций и Методы оптимизации

7. Билет № 23

9. 1. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров – А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м² материала, а для полки типа В – 3 м² материала. Компания может получить до 1200 м² материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин. работы оборудования, а для изготовления одной полки типа В –30 мин. Оборудование можно использовать 160 часов в неделю. Прибыль от продажи полки типа А составляет 3 долл., а от продажи полки типа В – 4 долл. Сколько полок в неделю следует выпускать, чтобы получить максимальную прибыль? Определить статус каждого из ресурсов. На сколько может измениться . прибыль от продажи полки типа А, чтобы план выпуска изделий остался неизменным? На сколько изменится прибыль, если появится возможность использовать оборудование 180 часов в неделю?

2. Восстановление матрицы издержек для любого подмножества гамильтоновых циклов.

Вопр№17

3. Пусть известны возможные значения эффективности (например, прирост прибыли, выпуск продукции и др.) на каждом из четырёх предприятий отрасли в результате расширения действующих мощностей (табл.). Требуется составить план распределения ограниченных капиталовложений по этим предприятиям (К=240 д.е.), максимизирующий общий прирост выпуска продукции.

Капиталовложения	Прирост выпуска продукции I-го предприятия
	1	2	3	4
0	0	0	0	0
60	26	31	35	28
120	62	71	69	60
180	100	95	97	105
240	130	125	128	135

ВОПРОСЫ и ЗАДАЧИ из БИЛЕТОВ ЭКЗАМЕНА ИОиМО

ВОПРОСЫ и ЗАДАЧИ из БИЛЕТОВ ЭКЗАМЕНА ИОиМО – июнь 12-г.

2. Постановка злп. Общая, основная, каноническая злп. Приведение общей злп к канонической форме. План, опорный план злп.

Привести к КЗЛП:

Max f ( x ) = 3X₁ + 2X₂

X₁ + 2X₂ ≤ 11 В№1 1

2X₁ - X₂ ≥ 5

X₁ + 3X₂ = 14

X₂ ≥ 0

2. Графический метод решения ЗЛП. В№2 2

Решить задачу графическим методом и провести анализ на чувствительность, ответив на вопросы 1-5.

Для приготовления двух видов продукции (A, B) используют три вида сырья. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы в соответствующей таблице.

1. Определить план выпуска продукции из условия максимизации его стоимости.

2. Определить интервал изменения цены на продукцию А, при котором структура оптимального решения останется неизменной.

3. Определить интервал изменения цены на продукцию В, при котором структура оптимального решения останется неизменной.

4. Определите статус, ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов.

5. Определите максимальный интервал изменения запасов каждого из ресурсов, в пределах которого структура оптимального решения, то есть номенклатура выпускаемой продукции, остается без изменения.

Сырье	Норма расходов		Ресурсы
	A	B
I	2	1	2700
II	1	8	3200
III	5	-	1500

2. Основные теоремы линейного программирования: сформулировать все, доказать теорему о крайней точке (Т 1). Вопр№3 3

2. Основные теоремы линейного программирования: сформулировать все, доказать теорему о существовании опорного плана (теорема 3). Вопр№4 4

.

2. Основные теоремы линейного программирования: сформулировать все, доказать теорему об оптимальности выпуклой комбинации планов ЗЛП (теорема 4).

Вопр№5 5

2. Основные теоремы линейного программирования: сформулировать все, доказать теорему о существовании оптимального опорного плана ЗЛП (теорема 5). Вопр№6 6

.

2. Обоснование симплекс-метода решения КЗЛП: К-матрицы, условия перехода от одной К-матрицы к другой, изменение целевой функции при переходе от одной К-матрицы к другой, критерий оптимальности опорного плана, критерий неразрешимости ЗЛП (критерий неразрешимости без доказательства) Вопр№7 7

2 Обоснование симплекс-метода решения КЗЛП: К-матрицы, условия перехода от одной К-матрицы к другой, изменение целевой функции при переходе от одной К-матрицы к другой, критерий оптимальности опорного плана (критерий оптимальности без доказательства), критерий неразрешимости ЗЛП . Вопр№8 8

2. Двухэтапный симплекс-метод. Ответ проиллюстрировать на примере: Вопр№9 9

Решить двухэтапным симплекс-методом ЗЛП

Min f ( x ) = 4х₁+ 3х₂ + 2x₃

-х₁ - 2х₂ - x₃  -2

2х₁ + х₂ + x₃  10

х₁  0, х₂  0

2. . М-метод решения ЗЛП. Решить М-методом ЗЛП: Вопр№10 10

Min f ( x ) = 4х₁+ 3х₂ + 2x₃

х₁ + 2х₂ + x₃  2

2х₁ + х₂ + 2x₃  10

х₁  0, х₂  0

2. Двойственные задачи линейного программирования. Теоремы двойственности : сформулировать все, доказать теорему 1 (f(x) ≤ g(y) ). Вопр№11.1 11

Решить графическим методом и в ПОИСКЕ РЕШЕНИЙ задачу линейного программирования. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. Проиллюстрировать выполнение теорем двойственности, если исходная задача имеет вид

Min f ( X ) = 4X₁+ 3X₂

X₁ + 2X₂  10

X₁ + 2X₂  2

2X₁ + X₂  10

X₁  0, X₂  0

2. Теоремы двойственности : сформулировать все, доказать теорему 2 (достаточное условие оптимальности). Вопр№12.1 12 новый

2. Двойственные задачи линейного программирования. Теоремы двойственности : сформулировать все, доказать теорему 5 (необходимое и достаточное условие оптимальности – непустота множества планов) Вопр№12.2 13 новый

2. Экономическая интерпретация двойственных переменных (на примере задачи распределения ресурсов): Вопр№12.3 14

Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.

Тип	Нормы расхода сырья на одно изделие			Запасы
Сырья	А	Б	В	сырья
I	4	2	1	180
II	3	1	3	210
III	1	2	5	244
Цена	10	14	12

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции были получены следующие результаты:

Х1 = 0, Х2 =82, Х3 = 16.

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости, сформулировать двойственную задачу, найти оптимальный план двойственной задач, используя теоремы двойственности;

2) Определить, как изменится общая стоимость продукции и план выпуска при увеличении запасов сырья I и III вида на 4 ед. каждого;

3) Определить целесообразность включения в план изделия "Г", на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2 ед. каждого вида сырья ценой 13 ед. и изделия "Д" на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья ценой 12 ед.

2, Получение решения двойственной задачи из симплекс-таблицы решения прямой задачи (с доказательством). Проиллюстрировать метод на примере задачи распределения ресурсов: Вопр№11.2 15

Max f ( x ) = 2х₁+ 3 х₂

х₁ + х₂  200

2 х₁ + х₂  400

х₁  0, х₂  0

2. Метод ветвей и границ (МВГ). Применение МВГ к решению целочисленной ЗЛП (ЦЗЛП). Проиллюстрировать метод на примере ЦЗЛП:

Max f ( x ) = х₁+ 1.3 х₂ Вопр№13 16

8х₁ + 6х₂  61

х₁ + 2 х₂  12

х₁  0, х₂  0, х₁, х₂ – целые.

2. Транспортная задача (ТЗ): постановка задачи, модель, закрытая и открытая модели ТЗ. Методы получения первоначального опорного плана ТЗ. Обоснование критерия оптимальности ТЗ. Проиллюстрировать метод на примере ТЗ: Вопр№14 17

6	-	4	-	500
8	8	2	6	300
9	-	7	6	100
400	200	150	250	ai bj

2. 2.Обоснование решения транспортной задачи (ТЗ) методом потенциалов. Проиллюстрировать метод на примере ТЗ: Вопр№15 18

18	10	5	23
-	-	4	18
3	5	2	29
15	28	20	bj\ai

2. Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера. Приведение матрицы издержек. Нижняя оценка издержек. Верхняя граница издержек для оптимальных гамильтоновых циклов. Восстановление матрицы издержек для любого подмножества гамильтоновых циклов.

Проиллюстрировать изложение на примере задачи с матрицей издержек

Вопр№16 Вопр№17 19

С =

2. Постановка задачи динамического программирования (ДП). Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана. Решить методом Беллмана задачу распределения инвестиций: Вопр№19 20

Пусть известны возможные значения эффективности (например, прирост прибыли, выпуск продукции и др.) на каждом из четырёх предприятий отрасли в результате расширения действующих мощностей (табл.). Требуется составить план распределения ограниченных капиталовложений по этим предприятиям (К=150 д.е.), максимизирующий общий прирост выпуска продукции.

Капиталовложения	Прирост выпуска продукции I-го предприятия
	1	2	3	4
0	0	0	0	0
50	25	30	36	28
100	60	70	69	60
150	100	95	97	105

2. Постановка задачи динамического программирования (ДП). Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана. Решить методом Беллмана задачу замены оборудования:

. Пусть r(t) – стоимость продукции, производимой за год на единице оборудования, возраст которого t лет; l(t) – ежегодные затраты на обслуживание этого оборудования; s(t) – остаточная стоимость оборудования, p=22– стоимость нового оборудования. Определить оптимальный цикл замены оборудования в период времени N=4 года, чтобы прибыль от использования оборудования была максимальной, если в начале планового периода возраст оборудования равен a) 0 лет b) 1 год с) 2 года. Вопр№20 21

t	0	1	2	3	4
r(t)	23	23	22	20	18
l(t)	0	1	3	5	7
s(t)	16	15	13	11	8

2. Управление запасами: стационарный детерминированный спрос. Формулы Уилсона. Вопр№21 22

Проиллюстрировать метод на примере:

Мебельный салон продает наборы мебели для кухни по цене 60 тыс.руб. Годовой спрос составляет 2000 кухонных гарнитуров. Издержки на один заказ равны 2500 руб. Годовые издержки хранения составляют 15 % от цены набора. Каков оптимальный размер заказа и совокупные издержки на заказ и хранение в год? Салон работает 300 дней в году. Построить график циклов изменения запаса товара.

2. Управление запасами: стационарный детерминированный спрос с ограничением на ёмкость склада. Вопр№22 23 новый

2. Управление запасами: нестационарный детерминированный спрос. Решение задачи методом Беллмана, решение задачи в случае вогнутой функции затрат на пополнение запаса и линейной функции затрат на хранение Вопр№23 24 новый

2. Управление запасами: нестационарный детерминированный спрос. Решение задачи в случае, когда затраты на пополнение пропорциональны объёму заказа плюс фиксированные расходы за факт заказа и линейной функции затрат на хранение (упрощённая вычислительная схема)..

Решить по упрощённой схеме задачу управления запасами:

Предприятие планирует поставку продукции в течение 6 месяцев в таких объёмах: d₁ = 80 шт.; d₂ = 20 шт.; d₃ = 60 шт.; d₄ = 30 шт.; d₅ = 40 шт.; d₆ = 50 шт. Стоимость хранения 1 единицы продукции в течение месяца составляет 3 руб./месяц. Стоимость наладки (или переналадки) оборудования А=150 руб. Наладка проводится в начале только тех месяцев, когда изготовляется продукция. Требуется определить периоды времени, когда производится заказ, размер заказа и затраты на операцию за весь период. Вопр№24 25 новый

2. Постановка задачи динамического программирования (ДП). Рекуррентные уравнения Беллмана (обратное и прямое), метод Беллмана. Решить методом Беллмана задачу: Вопр№26 новый

Для трёх предприятий выделяются средства в объёме b_o (млн. руб.). Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами суммарных затрат (С) (млн. руб.) и доходов (R) (млн. руб.), связанных с реализацией каждого из проектов. Соответствующие данные (Cj, Rj, j=1,2,3) приведены в таблице. Включение проектов с нулевыми затратами позволяет возможность отказа от расширения предприятия. Найти оптимальное распределение инвестиций, максимизирующее доход от инвестиций в объёме b_o, b_o = 8 млн. руб.

Проект	Предприятие 1		Предприятие 2		Предприятие 3
	C1	R1	C2	R2		C3	R3
1	3	5	3	4		0	0
2	4	6	4	5		2	3
3	-	-	5	8		3	5
4	-	-	-	-		6	9

Вопр№27 27 новый

2. Модифицированный симплекс-метод: первый и второй алгоритм.

Ответ проиллюстрировать на примере:

2. 3x₁+2x₂+3x₃  max

3. 2x₁+x₂+x₃ 20

4. 3x₁+4x₂+2x₃ 80

5. x₁ ,x₂ , x₃  0

Вопр№28 28 новый

2. Определение оптимальных уровней запасов  y* при вероятностном спросе и линейных функциях затрат.

Вопр№29 29 новый

2. Модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках.