8. Признаки ограниченности числа предельных циклов.

Признак Пуанкаре отсутствия замкнутых траекторий.

Если существует такая непрерывно дифференцируемая на области функция , что функция знакоопределена (т.е. если функция такая, что , причём равенство возможно лишь на множестве меры нуль, то функцию f назовём знакопостоянной на области , подразделяя на случаи знакоположительной и знакоотрицательной функции на области ), то в области нет замкнутых траекторий системы (1)

Признаки ограниченности числа предельных циклов.

Изолированная замкнутая траектория системы (1) наз. предельным циклом.

В области, ограниченной предельным циклом, расположено хотя бы одно состояние равновесия.

Признак Бендиксона. Если на односвязной области дивергенция векторного поля (2) знакопостоянна, то в области нет простых замкнутых кривых, составленных из траекторий системы (1).

Простая замкнутая кривая, составленная из траекторий, представляет из себя замкнутую траекторию, или составлена из чередующихся между собой цельных незамкнутых траекторий и состояний равновесия. В частности, предельный цикл является такой кривой.

Признак Бендиксона – Дюлака. Если существует такая непрерывно дифференцируемая на односвязной области скалярная функция: , что дивергенция векторного поля знакопостоянна, то в области нет простых замкнутых кривых, составленных из траекторий системы (1).

Признак Дюлака. Если существует такая непрерывно дифференцируемая на двусвязной области скалярная функция , что дивергенция векторного поля знакопостоянна, то в области не может существовать более одной простой замкнутой кривой, составленной из траекторий системы (1), содержащей внутри себя внутреннюю границу области .

Теорема. Если существует такая знакопостоянная непрерывно дифференцируемая на s-связной области скалярная функция , что дивергенция векторного поля знакопостоянна или тождественно равна нулю на области , то в области не может существовать более предельных циклов системы (1).

Скалярная ф-ция из этой теоремы и признаков Бендиксона – Дюлака и Дюлака наз. функцией Дюлака1.

9. Сфера Бендиксона. Стереографическая проекция фазового поля. Относительно координат ф.п-ти. O_xy обыкновенной автономной диф. сис-мы 2-го порядка (i) введём пространственную систему координат O^*x^*y^*z^*.

Точки N(0,0,1) и S(0,0,-1) будет соотв. Южные и северные полюсы сферы. При этом южный полюс совпадает с нач.коорд. О(0,0).

Ур-ние z^*=-1 явл. ур-ем ф.п.(x,y) в пространственной системе коорд.

Ф.п. касается сферы в южном полюсе. На пл-ти (x,y) выбираем т.М и проведём луч с нач. в этой точке через северный полюс N. Этот луч пересечёт сферу S² в некотор. т P.

Таким образом в каждой точке ф.п. (x,y) сопоставляется одна т. Сферы. Каждой т. Сферы отличной от северного полюса сопоставляется одна точка ф.п. (x,y). Такую проекцию называют стереографической проекцией ф.п., т N это центр стереограф-кой проекции.

Предположение.

Стереографическая проекция ф.п. явл. бисекцией между ф.п. и сферой с выколотым северным полюсом.

Распространим соответствие на всю сферу S², введём условную бесконечно удалённую т. пл-ти (x,y) , считая её соответствующей северному полюсу N стереографической проекцией. Ф.п. разобьётся на две пл-ти конечную и б.у.. Б.у части состоит из одной условной б.у. точки.

Тогда для любой пос-ти точек {M_n} конечной части ф.п. (x,y) удаляющих в бесконечность с помощью стереог-кой пр-ции, однозначно сопоставляется пос-ти точек {P_k} на сфере S² стремящихся к северному полюсу N.

Опр. Сферу на которой расположены стереогроф. образы траекторий диф. сис-мы (i) наз. сф. Бендиксона(S²B).

Исходя из геом.-ких соображении отметим некоторые закономерности поведения на S²B линия, яв-ся образами линии расположенных на ф.п-ти.

Закономерности.

1. Линия на ф.п. (x,y) проходящая через т. О(0,0) на S²B. Соответствует линии проходящий через каждый полюс.

2. Любая прямая ф.п. (x,y) проходящая через О(0,0) отображается на окружность большого радиуса S²B проход. через север. и юж. полюс наз. меридианноми.

3. Прямая y=0 отображает на начальный меридиан S²B расположенной на координатной пл-ти O^*x^*z^*.

4. Прямая x=0 отображается на меридиан ортог.-ный начальному лежащей на коорд. пл-ти O^*y^*z^*.

5. Замкнутым линиям на ф.п. сопоставляются замкнутым линиям на S²B, а замкнутым линиям на S²B, не проход. через северный полюс, сопост. замкнутые линий на ф.п.

6. Состоянию равновесия системы (i) расположенному на конечной части ф.п. (x,y) биективно соответствует состояние равновесия такого же вида на S²B.

7. Направление движения на стереограф. образе траекторий такое же как и на самой траекторий. Напраивл. движ. устанавлив. относительно соотв. при стереограф. проекции или относит. северного полюса

8. Если линия или часть линии расположена в полуплоскости x>0 (x<0) ф.п.(x,y), то соответствующий образ расположен в восточной полуплоскости (западной) S²B.

Пусть т M(x,y) расположена в ф.п. (x,у) и имеет координаты (x,y) в Oxy, тогда в пространственной системе координат M(x,y,-1). Прямая MN в O^*x^*y^*z^* задаёт ур-ние.

При стереограф. проекции с центром в северном полюсе т _,которая яв-ся пересечения MN из сферы (S²). Тогда координаты точек M и P связаны сис-мой равенств.

Окруж соответствует параллели радиус. _{и пл-ть этой параллели удалена от ф.п. на расстояние}

Поэтому ок-ти радиуса К с центром в т.О расположенной в ф.п.(x,y). соответствует:

1. Параллель южной полусферы Бендиксона при r<R.

2. Экватор S²B при r=2. С) Параллель северной полусферы Бендиксона при r>2.