7.Сложные состояния равновесия систем с линейными членами.

Пусть состояние равновесия (СР) О(0,0) системы

(1) где числа a, b, c и d одновременно не равны 0, ф-ии и разлагаются по степеням x и y, начиная с не ниже второй степени, и , сложное, т.е. .

Случай .

Канонический вид. Если , то с-ма (2) где ф-ции и разлагаются по степеням , начиная с не ниже второй степени, и яв-тся каноническим видом с-мы (1).

С-ма (1) с помощью невырожденных линейных однородных преобразований зависимых переменных: 1) при ; 2) при 3) при приводится к с-ме вида из которой заменой получаем каноническую с-му (2).

Определение характера состояния равновесия.

1.Приводим с-му (1) каноническому 3виду . (3)

2.Подставляем , где , в ур-ние . Методом неопределённых коэффициентов находим (хотя бы первые из них).

3.Составляем ф-цию . При этом достаточно найти первые ненулевые коэффициенты в разложении , где , а .

Узел. Если m – нечётное, а , то СР О(0,0) с-мы (3) (и системы (1)) будет узлом.

В направлениях и примыкает по одной О-кривой, а каждом из направлений и примыкает пучок О-кривых (рис.1) с-мы (3).

рис.1

Седло. Если m – нечётное, а , СР О(0,0) с-мы (3) (и с-мы (1) будеи седлом (рис.2)).

рис.2

Сепаратрисы седла О(0,0) с-мы (3) примыкают в направлении координатных осей.

Седло-узел. Если m – чётное, то СР О(0,0) с-мы (3) (и с-мы (1)) яв-тся седло-узлом (рис.3).

рис.3 Седло-узел О(0,0) с-мы (3) состоит из двух гиперболических и одного параболического секторов Бендиксона. В направлениях и примыкает по одной О-кривой с-мы (3). В направлении при примыкает одна О-кривая с-мы (3), а при - пучок её О-кривых. В напрвлении при примыкает пучок О-кривых с-мы (3), а при - одна её О-кривая.

Случай .

Канонический вид. Если , то с-ма (4) где ф-ции и разлагаются по степеням , начиная с не ниже второй степени, и яв-тся каноническим видом с-мы (1).

С-ма (1) с помощью невырожденных линейных однородных преобразований зависимых переменных: 1) при ; 2) при приводится к системе вида , из которой заменой получаем каноническую с-му (4).

Определение характера СР.

1.Приводим с-му (1) каноническому виду . (5)

2.Подставляем , где , в ур-ние . Методом неопределённых коэффициентов находим (хотя бы первые из них).

3.Составляем и . При этом в разложениях и достаточно найти первые ненулевые коэффициенты. В случае считаем .

Узел.

Если k – нечётное ( ), а число n – чётное, коэффициенты и выполняется одно из условий: а) ; б) , то СР О(0,0) с-мы (5) (и с-мы (1)) является узлом. Все траектории этого сложного узла с-мы (5) примыкают в направлении оси Ох (рис.4).

рис.4

Седло. Если k – нечётное, а коэффициент , то СР О(0,0) с-мы (5) (системы (1)) яв-тся узлом. Сепоротрисы седло О(0,0) Сис-мы (5) примыкает в направлении оси Ох. (рис.5).

рис.5

Это сложное седло иногда называют топологическим седлом.

Фокус или центр. Если k – нечётное ( ), а коэффициент и выполняется одно из условий: а) ; б) ; в) , , то СР О(0,0) с-мы (5) (и с-мы (1)) яв-ся фокусом или центром.

Состояние равновесия с одним эллиптическим, двумя сопровождающими его параболическими и одним гиперболическим секторами Бендиксона.

Если k – нечётное ( ), а число n – нечётное, коэффициенты и выполняется одно из условий:

а) ; б) , то СР О(0,0) с-мы (5) (и с-мы (1))состоит из одного эллиптического, двух сопровождающих его параболических и одного гиперболического секторов Бендиксона.

Траектории с-мы (5) примыкают в направлении оси Ох.

Рис.6 выполнен для с-мы (5) при , а в случае расположение траекторий получается симметричным отображением относительно оси Ох.

рис.6

Вырожденное состояние равновесия. Если k – чётное ( ) и выполняется одно из условий: а) или б) , то СР О(0,0) с-мы (5) (и с-мы (1)) есть вырожденное СР (рис.7).

рис.7

Вырожденное СР состоит из двух гиперболических секторов Бендиксона. Две сепаратрисы вырожденного СР О(0,0) системы (5) примыкают в направлении оси Ох. Иногда вырожденное СР наз-ют двухсепаратрисным селом.

Седло-узел.

Если k – чётное ( ), коэффициент и , то СР О(0,0) с-мы (5) (и с-мы (1)) яв-ся седлом-узлом (рис.8).

рис.8

У системы (5) все О-кривые седло-узла примыкают в направлении оси Ох: при в направлении примыкают две О-кривые, а в направлении примыкает пучок О-кривых (рис.8); при в направлении примыкает пучок О-кривых, а в направлении примыкают две О-кривые.