14. Круг Пуанкаре.

Объектом исследования является обыкновенная автономная дифференциальная система второго порядка

(I) c целыми правыми частями на предмет глобального поведения траекторий.

Дифференциальную систему (I) будем рассматривать, когда целые функции , являются алгебраическими, т.е. - полиномы с коэффициентами из поля .

Пусть . Правые части (I) представим в виде , (1) где , - однородные полиномы степени при этом выполняется на (2)

Говоря о глобальном поведении траекторий системы (I) будем иметь в виду поведение траекторий системы (I) на всей фазовой пл-ти (х, у) с обязательным изучением их поведения на бесконечность, т.е. . По необходимости различая случай .

Мат-кую строгость с которой изучим глобальное поведение траекторий всякий раз будем устанавливать с точностью до некоторого преобразования. Это преобразование должно сохранять топологические инварианты принятия в локальной качественной обыкновенной автономной дифференциальной системе на плоскости.

При проектировании ф. пл-ти (х,у) на S²P каждой точке пл-ти (х,у) сопоставляются две диаметрально противоположные точки сферы, расположенные в южной и северной полусферах, поэтому можно рассматривать отображение ф. пл-ти на одну из полусфер: южную или северную. Рассмотрим южную полусферу вместе с экватором это многообразие с краем обозначается , тогда - южная полусфера без экватора. А экватор обозначим . На экваторе расположены б. уд-ые точки ф. пл-ти (х,у). Естественной проекцией на ф. пл-ть яв-ся круг единичного радиуса К с центром в начале координат О. Этот круг К получил название круга Пуанкаре (рис.53.2). Граничная окружность круга Пуанкаре является образом экватора . Круг Пуанкаре является моделью для построения поведения траекторий в ф. пл-ти дополненный б удми т-ми. Точки расположенные в конечной части ф. пл-ти отображаются в точки открытого круга это отображение биективно. Б. уд-ые точки ф. пл-ти (х,у) проектируются на граничную окружность при этом выполняются следующие закономерности:

1) система координат Оху делит круг Пуанкаре на четыре части, нумеруем их в соответствии с нумерацией координатных углов. Говорят о I, II, III, IV четвертях круга Пуанкаре. Каждая точка i-ого координатного угла ф. пл-ти взаимно однозначно отображается в точку i-ой четверти круга Пуанкаре;

2) прямая отображается на диаметр круга Пуанкаре лежащий на этой прямой. Прямая отображается на диаметр расположенный на оси Оу. У параллельных прямых будет общая б. уд-нная точка. Прямая отображается на дуги с концами в точке пересечения прямой и круга Пуанкаре К. Прямые отображаются на простые дуги, которые опираются на диаметр расположенный на оси Оу;

3) если прямая является наклонной или горизонтальной к=0 асимптотой кривой γ при или , то образ этой кривой γ на круге Пуанкаре имеет граничную точку являющуюся точкой пересечения окружности с лучом ;

4) образом простой замкнутой кривой расположенной в конечной части ф. пл-ти яв-ся простая замкнутая кривая целиком лежащая в открытом круге Пуанкаре.

Определение. Две системы вида (I) наз-ся эквивалентными на круге Пуанкаре, если существует диффеоморфизм их кругов Пуанкаре переводящие траектории одной системы в траектории другой.

В результате линейного невырожденного преобразования системы (I) получаем ее эквивалентную систему на круге Пуанкаре.