13. Преобразование Пуанкаре.2

С целью описания поведения траекторий системы

(I) в окрестности экватора сферы Пуанкаре введем две новые прямоугольные декартовы системы координат. На плоскости касающейся сферы Пуанкаре в точке В(1,0,0) (рис. 55.1) введем правую прямоугольную декартову систему координат ось сонаправлена с осью ось противоположно направлена с осью Масштаб во всех системах одинаковый. При таком введении системы координат плоскость (u,z) получает ориентацию и рассматривается та сторона плоскости, нормаль которой противоположна направлению с осью Если на координатной плоскости точка М₁ (u,z), то в системе координат М (1,u,-z). Пусть точка М(x,y) фазовой плоскости (x,y) не лежит но оси Oy, тогда прямая пересекает плоскость (u,z) в некоторой точке в системе координат . Тогда при согласно заданию прямой

(*)получаем

Учитывая связь в системах и в и в . Таким образом, координаты точки М(x,y) с абсциссой и координаты точки М₁(u,z) с ординатой связаны равенствами (1). Так и равенствами

(P-1) Преобразование (Р-1) называют первым преобразованием Пуанкаре фазовой плоскости, а (1) обратное первое преобразование Пуанкаре.

Преобразование (Р-1) устанавливает биективное отображение

(2) фазовой плоскости (x,y) из которой удалена ось Oy на координатную плоскость из которой удалена ось . Отображение (2) называется первым отображением Пуанкаре. Первой заменой Пуанкаре (Р-1) систему (I) приведем к системе

(3)

Пусть X и Y полиномы, тогда и не являются полиномами и систему (3) можно записать в виде

(4) где и полиномы не делящиеся одновременно на z, а число m – целое неотрицательное. На основании (4) записываем (5) где

Связь между поведением траекторий системы (I) и системы (5).

Поведение траекторий, расположенных в полуплоскости z>0 системы (5) биективно соответствует поведению траекторий, расположенных в полуплоскости x>0 системы (I) с сохранением направления движения вдоль соответствующих траекторий этих систем.

Поведение траекторий, расположенных в полуплоскости z<0 системы (5) биективно с точностью до направления движения вдоль траекторий соответствует поведению траекторий, расположенных в полуплоскости x<0 системы (I).

Поведение траекторий системы (5) в окрестности прямой z=0 с точностью до направления движения вдоль траекторий соответствует поведению траекторий системы (I) на сфере Пуанкаре в окрестности экватора, из которого удалены точки С(0,1,0) и С’(0,-1,0).

Тем самым устанавливается поведение траекторий системы (I) в бесконечно удаленной части фазовой плоскости, из которой удалены концы оси Oy. Чтобы описать поведение траекторий на концах оси Oy введем еще одну правую прямоугольную систему координат . Данная система координат расположена на плоскости касающейся в точке С(0,1,0) сферы Пуанкаре (рис.55.2). совпадает с точкой С. Ось противоположно направлена с осью Ось сонаправлена с осью Масштаб в системах координат и одинаковый. Система координат получает ориентацию и рассматривается та ее сторона, нормаль к которой противоположно направлена с осью

Пусть точка М₂ в системе координат имеет координаты (z,v), тогда в системе координат эта точка имеет координаты (v,1,-z). Если точка M(x,y) не лежит на оси Ox фазовой плоскости (x,y), то прямая пересекает фазовую плоскость (z,v) в некоторой точке из системы (*) при получаем .

Учитывая связь систем координат и по координатам в находим координаты точки в системе . Таким образом, координаты точки М(x,y) фазовой плоскости Oxy при и координаты точки M₂(z,v) системы при связаны формулой

(6) и (Р-2)

(Р-2) называют вторым преобразованием Пуанкаре, а (6) обратное второе преобразование Пуанкаре.

Преобразование (Р-2) устанавливает биективное отображение

(7)

которое называют вторым отображение Пуанкаре.

С помощью (Р-2) систему (I) приводим к дифференциальной системе

(8)

Если и не являются полиномами, то (8) перепишем в виде

(9) и - полиномы не делящиеся одновременно на z, m – целое неотрицательное. У системы (4) и (9) число m одинаковое. На основании (9) составляем

(10) где

Связь между поведением траекторий системы (I) и системы (10).

Поведение траекторий, расположенных в полуплоскости z>0 системы (10) биективно соответствует поведению траекторий, расположенных в полуплоскости y>0 системы (I), направление движения вдоль траекторий этих систем сохраняется.

Поведение траекторий, расположенных в полуплоскости z<0 системы (10) биективно с точностью до направления движения вдоль траекторий соответствует поведению траекторий, расположенных в полуплоскости y<0 системы (I).

Поведение траекторий системы (10) в окрестности точки z=v=0 с точностью до направления движения вдоль траекторий соответствует поведению траекторий системы (I) на сфере Пуанкаре в окрестности точек С(0,1,0) и С’(0,-1,0).

Таким образом, изучив поведение траекторий системы (5) в окрестности прямой z=0 и поведение траекторий системы (10) в окрестности точки z=v=0 установим поведение траекторий системы (I) на сфере Пуанкаре в окрестности экватора.

Теорема 1.Тождественное преобразование

фазовой плоскости на себя, первое (2) и второе (7) отображение Пуанкаре образуют группу 3 порядка.

Доказательство. Первое и второе преобразование Пуанкаре являются взаимообратными

Кроме этого