15. Типы диф. Сис-мы на проективной ф.П.
Если
точка
является состоянием равновесия (СР)
сист.
,
то часто оно будет сложным СР причем
систем без линейных членов. Поэтому
исследование поведения траекторий в
его окрестности требует дополнительных
методов и подходов.
Рассмотрим
возможность использовать проективную
плоскость для пополнения фазовой
плоскости(ФП) системы
(I)
бесконечно удаленными(БУ) точками, как
это реализовано в модели связанной с
кругом Пуанкаре. Затем по БУ СР,
расположенным на экваторе сферы Пуанкаре
построим СР бесконечность на
.
Пусть
система (I)
имеет P-неособый
тип. В этом случае всем
-кривым
, примыкающим к БУ СР
,
которые расположены на экваторе
.
Ставим в биективное соответствие
-кривые
СР бесконечность, примыкающие к нему в
направлении стереографических образов
двух лучей, определяемых прямой
.
При переходе от СР к ∞ внутренние сектора Бендиксона СР не меняют свой тип, а для внешних секторов справедливы следующие закономерности:
Теорема:
Пусть
и
-соседние
СР системы (I),
расположенные на экваторе
.
Тогда
1) если смежные эллиптические сектора такие, что у них крайние и -кривые имеют одинаковую устойчивость, то при переходе к СР ∞ из них образуется два эллиптических сектора между которыми расположен параболический сектор;
2) если смежные эллиптические сектора такие, что у них крайние и -кривые имеют различную устойчивость, то при переходе к СР ∞ из них образуется два эллиптических сектора между которыми расположен гиперболический сектор;
3) если смежные эллиптический и параболический сектора такие, что у них крайние и -кривые имеют одинаковую устойчивость, то при переходе к СР ∞ из них образуется эллиптический сектор;
4) если смежные эллиптический и параболический сектора такие, что у них крайние и -кривые имеют различную устойчивость, то при переходе к СР ∞ из них образуется эллиптический и параболический сектора между которыми расположен гиперболический сектор;
5) если смежные эллиптический и гиперболический сектора такие, что у них крайние и -кривые имеют одинаковую устойчивость, то при переходе к СР ∞ из них образуется эллиптический сектор;
6) если смежные эллиптический и гиперболический сектора такие, что у них крайние и -кривые имеют различную устойчивость, то при переходе к СР ∞ из них образуется эллиптический и гиперболический сектора;
7) если смежные параболические сектора такие, что у них крайние и -кривые имеют одинаковую устойчивость, то при переходе к СР ∞ из них образуется параболический сектор;
8) если смежные параболические сектора такие, что у них крайние и -кривые имеют различную устойчивость, то при переходе к СР ∞ из них образуется эллиптический сектор;
9) если у и СР смежные сектора гиперболические, то при переходе к СР ∞ из них образуется гиперболический сектор.
Пусть система (I) имеет Р-особый тип, тогда БУ прямая проективной ФП не является траекторией.
Каждая точка экватора либо является СР системы (I), либо через нее проходит траектория этой системы.
Если точка экватора является СР системы (I), то наличие и поведение -кривых устанавливается как и в случае P-неособого типа.
Если точка не является СР системы (I), то к точке ∞ примыкают две -кривые в направлении стереографических образов прямой .
Если -квази особая точка, то по направлению одного из стереографических образов лучей примыкают две -кривые противоположной устойчивости, а примыкающих в другом направлении -кривых нет.
В ином случае в направлении каждого стереографического образа луча примыкает по одной -кривой.