17. Проективный атлас сферы Пуанкаре.

Сфера Пуанкаре является многообразием со структурой топологического пространства, поделенного шестью координатными картами. Для геометрической иллюстрации поведения траекторий системы

(1) на сфере Пуанкаре будем использовать проективный атлас, состоящий из трех проективных карт

Первая проективная карта К(x,y) – это круг Пуанкаре с фазовым портретом системы (1) на плоскости (x,y).

Вторая проективная карта К(u,z) – это круг Пуанкаре с фазовым портретом первой Р-приведенной системы

(2) на плоскости (u,z).

Третья проективная карта К(z,v), которая является кругом Пуанкаре с фазовым портретом второй Р-приведенной системы

(3) на плоскости (z,v).

Между этими картами устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

При построении проективного атласа следует учитывать следующие закономерности:

1. Утверждения являются равносильными:

1. прямая x=0 является траекторией системы (1);

2. бесконечно удаленная прямая х=0 проективной фазовой плоскости (х,u,z) является траекторией системы (2);

3. прямая v=0 является траекторией второй Р-приведенной системы (3).

2. Утверждения являются равносильными:

1. прямая у=0 является траекторией системы (1);

2. бесконечно удаленная прямая у=0 проективной фазовой плоскости (y,z,v) является траекторией системы (3);

3. прямая z=0 является траекторией системы (2).

3. Утверждения являются равносильными:

1. Бесконечно удаленная прямая z=0 проективной фазовой плоскости (z,x,y) является траекторией системы (1);

2. прямая z=0 является траекторией системы (2);

3. прямая z=0 является траекторией системы (3).

4. Утверждения являются равносильными :

а) в фазовой плоскости (x,y) точка А(а,b) аb≠0 является состоянием равновесия системы (1);

b) в фазовой плоскости (u,z) точка А'( ) является состоянием равновесия системы (2);

с) в фазовой плоскости (z,v) точка А''( ) является состоянием равновесия системы (3).

Состояния равновесия А, А', А'' одинакового вида.

5. Утверждения являются равносильными:

1. в фазовой плоскости (x,y) точка А(а,0) а≠0 является состоянием равновесия системы (1);

2. в фазовой плоскости (u,z) точка А'( ) является состоянием равновесия системы (2);

3. в проективной фазовой плоскости (y,z,v) на концах прямой z= v расположена бесконечно удаленное состояние равновесия А'' системы (3).

Состояния равновесия А, А', А'' одинакового вида.

6. Утверждения являются равносильными:

1. в фазовой плоскости (x,y) точка А(0,b) b≠0 является состоянием равновесия системы (1);

2. в проективной фазовой плоскости (x,u,z) на концах прямой u= bz расположено бесконечно удаленное состояние равновесия А' системы (2);

3. в фазовой плоскости (z,v) точка А''( ) является состоянием равновесия системы (3).

Состояния равновесия А, А', А'' одинакового вида.

7. Утверждения являются равносильными:

1. начало координат О фазовой плоскости (х,у) является состоянием равновесия системы (1);

2. в проективной фазовой плоскости (x,u,z) на концах прямой u= 0 расположено бесконечно удаленное состояние равновесия О системы (2);

3. в проективной фазовой плоскости (y,z,v) на концах прямой v= 0 расположено бесконечно удаленное состояние равновесия О системы (3).

При этом в каждом случаи вид состояния равновесия О одинаковый.

8. Утверждения являются равносильными:

1. в проективной фазовой плоскости (z,x,y) на концах прямой х= 0 расположено бесконечно удаленное состояние равновесия О'' системы (1);

2. в проективной фазовой плоскости (x,u,z) на концах прямой z= 0 расположено бесконечно удаленное состояние равновесия О'' системы (2);

3. начало координат О'' фазовой плоскости (z,v) является состоянием равновесия системы (3).

В каждом случаи вид состояния равновесия О'' одинаковый.

9. Утверждения являются равносильными:

1. в проективной фазовой плоскости (z,x,y) на концах прямой у= 0 расположено бесконечно удаленное состояние равновесия О' системы (1);

2. начало координат О' фазовой плоскости (u,z) является состоянием равновесия системы (2).

3. в проективной фазовой плоскости (y,z,v) на концах прямой z= 0 расположено бесконечно удаленное состояние равновесия О' системы (3)/

В каждом случаи вид состояния равновесия О' одинаковый.

10. Утверждения являются равносильными:

1. в проективной фазовой плоскости (z,x,y) на концах прямой у=ах, а≠0 расположено бесконечно удаленное состояние равновесия системы (1);

2. в фазовой плоскости (u,z) точка В'( ) является состоянием равновесия системы (2);

3. в фазовой плоскости (z,v) точка В''( ) является состоянием равновесия системы (3).

При этом состояния равновесия В, В', В'' одинакового вида.

Эквивалентность систем на сфере Пуанкаре.

Опр. Две обыкновенные автономные полиномиальные дифференциальные системы второго порядка эквивалентны на сфере Пуанкаре, если существует диффеоморфизм сферы Пуанкаре переводящий траектории одной системы в траектории другой системы.

При невырожденном линейном преобразовании системы (1) сохраняется эквивалентность поведения траекторий как на круге Пуанкаре так и на сфере Пуанкаре. Эквивалентность поведения траекторий на сфере Пуанкаре системы (1) также сохраняется при суперпозиции невырожденного линейного преобразования и преобразований Пуанкаре.

Свойства:

1. Системы (1), (2), (3) эквивалентны на сфере Пуанкаре.

2. Если хотя бы одна из проективных карт атласа одной системы эквивалентна проективной карте атласа другой системы, то эти системы эквивалентны на сфере Пуанкаре.

3. Система (1ⁿ) c P-неособым типом на сфере Пуанкаре эквивалентна некоторой системе (1ⁿ⁺¹) с Р-особым типом, причем система (1ⁿ⁺¹) имеет прямую траекторию.

(1ⁿ) – дифференциальная система (1) со степенью n, т.е. deg(1) = n.