25. Двойной интеграл и его свойства. Сведения двойного интеграла к повторному.

. Здесь   — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах:  , где   — элемент площади в прямоугольных координатах.

 1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D₁ и D₂, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D₁ и D₂, причем

     2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β · g(x, y)] также интегрируема в области D, причем

     3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

     4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то

     5°. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

Пусть для функции f(x, y) в прямоугольнике R = [a ≤ x ≤ b] × [c ≤ y ≤ d] существует двойной интеграл  .

     Пусть далее для каждого x из сегмента a ≤ x ≤ b существует однократный интеграл

     Тогда существует повторный интеграл

и справедливо равенство     

26. Тройной интеграл, сведение его к повторному.

Тройным интегралом называют кратный интеграл с  .

 Здесь   — элемент объема в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах  , где   является элементом объема в прямоугольных координатах.

Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T.

Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда

Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.

Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь

где P = [a, b; c, d] - проекция параллелепипеда T на плоскость xy.

Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.

27. Замена переменных в двойном интеграле. Пример случай полярных координат.

Замена переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим отображение

и его обратное  ,

непрерывно дифференцируемое и имеющее отличный от нуля якобиан в области D. Пусть функция f интегрируема в D, тогда

  =  .

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

Якобиан такого преобразования имеет вид

Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен

Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):

Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой