8. Формула Ньютона – Лейбница для определенного интеграла.
Если f – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [a, b], и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a, b], т.e.
Рассмотрим
функцию S ( x ),
заданную на отрезке [ a, b ].
Если a<x 
b,
то S ( x ) – площадь
части криволинейной трапеции, лежащей
слева от вертикальной прямой, проходящей
через точку ( x,
0 ). Отметим, что если x = a , то S ( a ) =
0, а S ( b ) = S ( S –площадь
всей криволинейной трапеции). Можно
доказать, что
т.e. S ( x )
– первообразная для f ( x ).
Отсюда, согласно основному свойству
первообразных, для всех x
[ a, b ]
имеем:
S ( x ) = F ( x ) + C ,
где C – некоторая постоянная, F – одна из первообразных функции f .
Чтобы найти C , подставим x = a :
F ( a ) + C = S ( a ) = 0,
отсюда, C = F ( a ) и S ( x ) = F ( x ) F ( a ). Так как площадь криволинейной трапеции равна S ( b ) , то подставляя x = b , получим:
S = S ( b ) = F ( b ) F ( a ).
9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.
Замена
переменных в определенном
интеграле. Пусть 
-
некоторая функция, определенная на
отрезке 
.
Введем новую переменную t по
формуле 
.
Пусть 
непрерывны
на отрезке 
.
Тогда
Интегрирование
по частям. Для
любых непрерывно дифференцируемых на
отрезке
функций
и 
имеет
место равенство
или,
в обозначениях 
10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).
Вычисление длинны дуги плоской кривой.
Пусть
кривая Г задана на
плоскости OXY уравнением y=y(x), 
и 
Тогда длинна этой кривой может быть вычислена по формуле:
Вычисление площади криволинейной трапеции.
Вычисление площади поверхностей вращения плоской кривой вокруг неподвижной оси.
Пусть
кривая Г, заданная как и выше
уравнением y=y(x),
, 
вращается
вокруг оси OX.
Тогда площадь поверхности вращения
этой кривой может быть вычислена по
формуле:
11. Понятие числового ряда и его сумма. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
Бесконечным числовым рядом называется выражение
u1+u2+...+un+... , |
(1) |
содержащее неограниченное число членов, где
u1 , u2 , u3 , ... , un , ...
- бесконечная числовая последовательность; un называется общим членом ряда.
Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши): Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.
Необходимое условие
Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху.
Достаточное условие
Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая: Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).