Метод введения параметра.
На практике при решении уравнений F( x , y , y ' ) = 0 часто используют следующий метод.
Предположим , что уравнение F( x , y , y ' ) = 0 “легко” решить относительно y : y = f ( x , y ' ). Тогда введем замену y ' = p ( параметр зависит от x ). Предполагая, что дифференциальное уравнение имеет решение y = y ( x ) , получим ( в силу уравнения )
Из этих равенств
выражаем
Это уравнение разрешено
относительно производной 
.
Пусть его общее решение имеет
вид p = p ( x , C ).Тогда
общее решение заданного уравнения
можно записать в виде y =f ( x , p ( x , C ) ).
Решение найдено.
42. Уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения. Фундаментальная система решений (фср) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.
Уравнение
(9.1) называется
линейным дифференциальным уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами; 
-
постоянные вещественные
числа. Если функция 
) не
равна тождественно нулю, то иногда
говорят, что уравнение
с правой частью.
Уравнение
(9.2) называется
линейным однородным дифференциальным
уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами;
-
постоянные вещественные числа. Т.
к. функция
) равна
тождественно нулю, то иногда говорят,
что уравнение
без правой части.
Уравнение 
(9.3)
называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами уравнения (9.2).
Система
функций 
называется линейно
независимой в
интервале 
,
если тождество (
- постоянные
числа)
может
выполняться только когда все 
. Если
к тому же каждая из функций 
является
частным решением однородного
уравнения (9.2), то система
решений одно-родного уравнения
называется фундаментальной
системой решений.
Если фундаментальная система решений найдена, то функция
дает
общее решение однородного
уравнения (9.2), ( все 
-
константы ).
Неоднородное уравнение. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
можно
найти по формуле 
(формула
верна и в том случае, когда коэффици-енты
не являются константами) , где 
-
частное решение неоднородного уравнения,
а
-
общее решение однородного уравнения
.
43. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Фср однородной системы. Общее решение однородной и неоднородной системы.
Система уравнений вида
,
(1)
называется неоднородной
системой линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Будем считать, что 
являются
непрерывными функциями на (a,b).
Система дифференциальных уравнений
,
(2)
называется однородной.
Определение. Линейнонезависимая
система 
состоит
из решений однородной системы ЛДУ
называется её фундаментальной системой
решений (ФСР).