4. Теорема об интегрируемости монотонной и непрерывной на отрезке функции.

Th2(интегрируемость монотонной функции). Если функция монотонна на отрезке [a,b], то она интегрируема на отрезке [a,b].

Док-во: Рассмотрим (f,_k), AC[a,b]. Рассмотрим (f,_k)=|f(x_k-1)-f(x_k)|, k. Запишем критерий Римана:

((p)0)

  f[a,b] 

5. Основные свойства определенного интеграла.

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.  , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

6. Формула среднего значения для определенного интеграла.

Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка  , такая что  .  Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения.  Тогда  . Число   заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка  , такая что  .  Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если   непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка  такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

Рассмотрим функцию   , заданную на отрезке   , и предположим, что она интегрируема на отрезке   . Тогда при любом   эта функция будет интегрируема на отрезке   и, следовательно, функция

определена при всех   . При   мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что   для любой функции   и точки   из её области определения. Итак, функция   равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции   , не обязательно непрерывной.

Th1.Функция   , определённая выше, непрерывна при всех   для любой интегрируемой функции   .

Th2. Пусть функция   непрерывна на отрезке   и функция   определена всё той же формулой. Тогда   имеет производную в любой точке интервала   , производную справа в точке   и производную слева в точке   , причём эти производные совпадают со значением функции   в соответствующей точке:

 при   и