21. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидова пространства. Множество точек евклидова пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.

Определение 1. Упорядоченная последовательность n действительных чисел {х₁, х₂;...; х_n} называется точкой п- мерного пространства, при этом числа x_i, i = 1,..., n называются координатами точки. Обозначение: X = (х₁, х₂;...; х_n).

Определение 2. Если для любых двух точек X = (х₁, х₂;...; х_n) и У = (y₁, y₂;...; y_n) n-мерного пространства определено расстояние между ними по формуле , то такое пространство называется n-мерным евклидовым.

Обозначение: Еⁿ.

Определение 3. Пусть X - фиксированная точка пространства Еⁿ;   > 0 - произвольное положительное число. Множество точек Y пространства Еⁿ таких, что

р(Х; Y) , называется n-мерным шаром с центром в точке X и радиусом   или просто  -окрестностъю точки X в пространстве Еⁿ.

Определение 4. Если существует отображение множества натуральных чисел в множество точек пространства Еⁿ

то множество точек Х₁; Х₂; ... называется последовательностью точек этого пространства. Обозначение: {Х_m}.

Определение 5. Точка X   Еⁿ называется пределом последовательности {Х_m}, если

Определение 6. Пусть Е   Еⁿ - некоторое подмножество n-мерного евклидова пространства. Отображение точек множества Е в множество действительных чисел R называется функцией п переменных. Обозначение: у = f(х₁, х₂;...; х_n); у = f(Х).

Множество Е называется областью определения функции n переменных.

Определение 1. Упорядоченная последовательность n действительных чисел {х₁, х₂;...; х_n} называется точкой п- мерного пространства, при этом числа x_i, i = 1,..., n называются координатами точки. Обозначение: X = (х₁, х₂;...; х_n).

Определение 2. Если для любых двух точек X = (х₁, х₂;...; х_n) и У = (y₁, y₂;...; y_n) n-мерного пространства определено расстояние между ними по формуле , то такое пространство называется n-мерным евклидовым. Обозначение: Еⁿ.

Определение 3. Пусть X - фиксированная точка пространства Еⁿ;   > 0 - произвольное положительное число. Множество точек Y пространства Еⁿ таких, что р(Х; Y) , называется n-мерным шаром с центром в точке X и радиусом   или просто  -окрестностъю точки X в пространстве Еⁿ. Определение 4. Если существует отображение множества натуральных чисел в множество точек пространства Еⁿ

то множество точек Х₁; Х₂; ... называется последовательностью точек этого пространства. Обозначение: {Х_m}. Определение 5. Точка X   Еⁿ называется пределом последовательности {Х_m}, если Определение 6. Пусть Е   Еⁿ - некоторое подмножество n-мерного евклидова пространства. Отображение точек множества Е в множество действительных чисел R называется функцией п переменных. Обозначение: у = f(х₁, х₂;...; х_n); у = f(Х). Множество Е называется областью определения функции n переменных.

22. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a₁, a₂,  … , a_n)  Rⁿ , за исключением, быть может, самой точки a.

Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n), если

ε > 0   δ _ε > 0 :    x  O_δ(a)  |f(x) − A| < ε

Функция u = f(x) называется непрерывной в точке a, если

lim x → a  f(x) = f(a).

Обозначим приращения аргументов символами Δx₁ = x₁ − a₁, Δx₂ = x₂ − a₂,  …, Δx_n = x_n − a_n. Соответствующее приращение функции u=f(x)

Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2,   … ,  an + Δxn) − f(a1,  a2,  … ,  an).

называется полным приращением функции u=f(x) в точке a, соответствующим прирашению Δx = {Δx₁, Δx₂,  …, Δx_n}.

Условие, определяющее непрерывную функцию u = f(x) в точке a эквивалентно условию

lim Δx → 0  Δu = 0.

Приращение

δxku = f(a1,  … , ak + Δxk,  … , an) − f(a1, a2,  … , an)

называется частным приращением функции u в точке a, соответствующим приращению Δx_k аргумента x_k.

Определение 2. Функция u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) называется непрерывной в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n) по переменной x_k , если

lim δxku = 0. Δxk → 0

Пусть функция Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки M(x,y) Придадим переменной x в точке M произвольное приращение Δx, оставляя значение переменной y неизменным. Тогда соответствующее приращение функции Δ_xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y) называется частным приращением функции по переменной x в точке M(x,y). Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y: Δ_yZ=f(x,y+Δy)-f(x,y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если существует предел  , то он называется частной производной функции Z=f(M) в точке М по переменной х (по переменной у) и обозначается одним из следующих символов: