31. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции   не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция  , такая, что

В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции   вдоль кривой C от точки A до точки Bвыражается формулой

Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Пусть D - некоторая замкнутая область на плоскости хОу, ограниченная контуром L. На ней заданы функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y), непрерывные на D вместе со своими частными производными первого порядка. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по L с двойным интегралом по области D:

Движение по контуру L - в положительном направлении.

С помощью формулы Грина значение криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно найти, вычислив двойной интеграл.

32(1). Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисления.

Поверхностный интеграл 1-го рода (Пови-1) 

     Сведение к двойному 

     1. Поверхность S задана уравнением 

где   - величина угла между нормалью к поверхности и положительным направлением оси Oz.

     2. Поверхность S задана параметрически: 

где 

 или

где 

32(2). Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисления.

по фиксированной стороне двусторонней поверхности S.

     Пови-2 по разным сторонам S⁺ и S ^- одной и той же поверхности S 

     Сведение Пови-2 к Пови-1 

где   - направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности.

     Сведение Пови-2 к двойному интегралу 

     1. Поверхность S задана параметрически: 

выбор знака перед интегралом согласуют со стороной поверхности, по которой ведется интегрирование.

     2. Поверхность S задана уравнением 

если Пови-2 вычисляется по верхней стороне поверхности S;

для нижней стороны поверхности S.

33. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностьюS с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные.  Согласно формуле Остроградского-Гаусса,

где через

обозначена дивергенция векторного поля   (она обозначается также символом  ). Символ   указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности.  Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами.  Данную формулу можно записать также в координатной форме:

В частном случае, полагая  , получаем формулу для вычисления объема тела G: