34. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

Стокса формула, формула преобразования криволинейного интеграла по замкнутому контуру L в поверхностный интеграл по поверхности S, ограниченной контуром L. Стокса формула имеет вид:    ,    причём направление обхода контура L должно быть согласовано с ориентацией поверхности S. В векторной форме Стокса формула приобретает вид: ,   где а = Pi + Qj + Rk, dr — элемент контура L, ds — элемент поверхности S, n — единичный вектор внешней нормали к этой поверхности. Физический смыслСтокса формула состоит в том, что циркуляция векторного поля по контуру L равна потоку вихря поля через поверхность S.

35. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля. Скалярное поле, векторное поле

     Определение 1: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определена скалярная функция u = u(M), то говорят, что в области V заданоскалярное поле u = u(M) = u(x,y,z).

Примерами скалярных полей являются: поле температуры T внутри тела, поле потенциала  электрического заряда, поле плотности тела и т.д.

     Определение 2: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определен вектор

то говорят , что в области V  задано векторное поле  .

Примерами векторных полей являются: поле скоростей   текущей жидкости, поле электрической напряженности   , поле магнитной напряженности   и т.д.

Градиент скалярного поля. Дивергенция и ротор векторного поля

 Важнейшими характеристиками скалярных и векторных полей являются градиент (grad)скалярного поля, дивергенция(div) и ротор(rot) векторного поля.

     Определение 3: Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор

Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора.

     Определение 4: Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля   называется скаляр

     Определение 5: Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля   называется вектор, который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

Операторы grad, div,rot называются основными операторами теории поля.

В качестве примеров использования операторов градиента скалярного поля, дивергенции иротора векторного поля приведем формулу связи напряженности   и потенциала  электростатического поля:  и систему уравнений Максвелла для стационарного электромагнитного поля:

1)  2)  3)  4) 

Векторное поле   - потенциальное, если   Функция u называется потенциалом векторного поля  . Поле   потенциально в односвязной области тогда и только тогда, когда   или   Потенциал в этом случае можно найти, например, по формуле

     Соленоидальное векторное поле 

     Векторное поле   называется соленоидальным, если 

36. Оператор Гамильтона (набла), его применение (примеры).

Опера́тор на́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом   (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах^[1]оператор набла определяется следующим образом:

,

Если умножить вектор   на скаляр  , то получится вектор

,

который представляет собой градиент функции  .

Если вектор   скалярно умножить на вектор  , получится скаляр

,

то есть дивергенция вектора  .

Если   умножить на   векторно, то получится ротор вектора  :

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

37. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.

14.1 Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

;

(1)

(все три переменные x, y, F - действительны).  Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).  Пример: y⁽⁴⁾ – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка.  Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция  , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.  Любое уравнение порядка   имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.  Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

;			(2)
что: 1. Любое решение (2)   относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);  2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn.  Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: ;		(3)
и получать общее решение в форме ;		(4)
решённой относительно неизвестной функции. 14.2. ОДУ первого порядка. 14.2.1.Как следует из определения 14.1.1, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение ;	(5)
где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так: ;	(6)
Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как ;	(7)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид   или  .