16. Признак Вейерштрассе равномерной сходимости.

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд    с положительными членами, такой, что для всех   , начиная с некоторого номера и всех   выполняется неравенство  , то функциональный ряд   сходится на  равномерно. Числовой ряд    в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

17. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании ряда (без доказательства).

Свойство. Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Последовательность 

 функция   непрерывна в точке 

Тогда   непрерывна в  .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

Ряд 

 функция   непрерывна в точке 

Тогда   непрерывна в  .

Теорема о почленном интегрировании.

 функция   непрерывна на отрезке 

Теорема о почленном дифференцировании.

• функция   непрерывно дифференцируема на отрезке 

Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Если члены функционального ряда   - непрерывные функции, и этот ряд равномерно сходится на отрезке  , то сумма этого ряда непрерывна на  .

18. Степенной ряд. Теорема Абеля.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

(теорема Абеля). Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором  , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что   Наоборот, если ряд (12) расходится при  , то он расходится при всех значениях x таких, что   

Доказательство. Пусть числовой ряд

   (1.3) 

сходится. Поэтому   Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что   для всех n=0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд

   (1.4) 

предполагая, что   Так как   и при этом   то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

 

(геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при    Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

19. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости степенного ряда. Так называют радиус круга сходимостистепенного ряда   на комплексной плоскости (или степенного ряда   на действительной числовой оси), т.е. такое число r, что ряд сходится при |z| < r (соответственно при |x| < r) и расходится при |z| > r (соответственно при |x| > r). На границе круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда имеются несколько формул, например:

 (Формула Даламбера);

 (Формула Коши-Адамара).

20. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора о разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора-Маклерона: sin x, cos x, (1+x)a, ln(1+x).

Пусть функция   бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки  . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции   в точке  .

Теорема о разложимости: Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора.

 для всех