Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1)

В смазочном слое обе границы представляют собой твердые стенки. По этой причине основные граничные условия являются условиями прилипания. К числу неизвестных необходимо отнести не только проекции скорости, но и давление. Система (10.13) линейная и сравнительно легко поддается решению.

Для трехмерного случая система уравнений смазочного слоя примет следующий вид:

81

11. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

11.1.Основные сведения

Вприроде и технике, как уже отмечалось ранее, наблюдаются два режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный.

Ламинарный режим течения характеризуется параболической эпюрой распределения локальных скоростей в трубе (рис. 25), при турбулентном режиме течения эпюра локальных, осредненных по времени скоростей имеет более равномерный характер (рис.25).

Рис.25. Картина линий тока и эпюры скоростей: а) ламинарный режим течения; б) переходная зона; в) турбулентный режим течения

Ламинарный и турбулентный режимы течения наблюдаются при движении жидкости в трубах, каналах, в пограничных слоях при внутреннем и внешнем обтекании различных тел.

Полной количественной теории турбулентности в настоящее время не существует.

Впервые существование двух режимов течения жидкостей отметил в 1839 году в одной из своих работ немецкий инженер-гидротехник Готтхильф Генрих

82

Людвиг Хаген (1797 – 1884).Однако ему не удалось обобщить свои обширные результаты измерений. Такое обобщение сумел сделать английский физик и инженер Осборн Рейнольдс (1842 - 1912), внесший крупный вклад в решение различных вопросов гидравлики. Осборн Рейнольдс показал, что переход ламинарного течения в турбулентное должен зависеть только от безразмерного числа

называемого теперь числом Рейнольдса, при условии, что обеспечено геометрическое подобие сравниваемых течений. Пользуясь теорией подобия, можно показать, что число Рейнольдса пропорционально отношению сил инерции к силам вязкости течения.

В формуле (11.1)

V − средняя скорость течения,

ν − кинематический коэффициент вязкости,

L − характерный размер гидравлического устройства.

Для трубы круглого сечения V = π4dQ2 , L = d, где Q − расход (количество жидко-

сти протекающей через трубу в единицу времени), и число Рейнольдса можно подсчитать как

Согласно закону подобия Рейнольдса переход ламинарного течения в турбулентное происходит при характерном для каждого гидравлического устройства значении безразмерногочисла Re , называемымкритическимчисломРейнольдса Reкр .

Если для течений с числом Re ≤ Reкр режим течения всегда будет ламинарным, то это значение Rekp носит название нижнего критического числа Рейнольдса.

Его величина существенно зависит от условий входа в трубу и от условий притекания жидкости к этому входу.

При устранении возмущений в жидкости и плавном входном участке величина нижнего критического числа Рейнольдса Reкр.нижн. =2300; для трубы без закруг-

ления, вставленной внутрь бака (см. рис.25)нижнее критическое значение числа Рейнольдса снижается до величин 1100-1200.

При тщательном устранении всех возмущений исследователям удалось довести критическое число Рейнольдса до 40000.

Однако в условиях, имеющихся в технических устройствах, при числе Рейнольдса больше 4000 в трубе наблюдается полностью развитое турбулентное течение. Это значение числа Рейнольдса носит название верхнего критического числа Рейнольдса.

Зона режимов между нижним и верхним значением критического числа Рейнольдса соответствует переходной области течения жидкости.

Переход ламинарного режима течения жидкости в турбулентный связан с потерей устойчивости ламинарного движения при наложении на него малых возмущений в виде двумерных колебаний, распространяющихся в направлении основного течения. При малых числах Re эти колебания являются затухающими. При больших числах Re амплитуды колебаний с течением времени растут в широком

спектре частот. Вследствие этого возникают вихри крупного размера. Вихревое те-

83

чение жидкости, при котором ее элементарные объемы вращаются с некоторой угловой скоростью относительно своих мгновенных осей, наблюдается всегда и при ламинарном режиме, однако, при турбулентном режиме течения вихреобразование носит непорядочный, статистический характер.

Крупные вихри при турбулентном режиме течения имеют низкие частоты и индивидуальные особенности, связанные с геометрией канала. Затем происходит перенос и диффузия вихрей, они разрушаются, образуя более мелкие вихри, частоты пульсации скорости возрастают.

При уменьшении размеров вихрей исчезают их особенности, связанные с геометрией гидравлического устройства, все турбулентные течения приобретают некоторую общность, связанную с мелкомасштабной турбулентностью. Существует нижний предел размеров вихреобразования, определяемый вязкостью жидкости. В вихрях самого малого размера кинетическая энергия турбулентного течения посредством вязкостного трения диссипирует, переходя в тепло.

Описанная физическая картина хорошо передаётся стихами английского ученого Льюиса Ричардсона*:

Крупный вихрь рождает мелкие, Скоростную энергию тратя, Мелкий вихрь - более мелкие, Пока вязкость не скажет: "Хватит".

Отметим, что вихревая картина течения характерна для турбулентного ядра потока. Вблизи стенок канала преобладает влияние сил трения, обусловленных молекулярной вязкостью. Отдельные вихри, попадая в эту область вязкого подслоя, быстро затухают. Между турбулентным ядром потока и вязким подслоем имеется переходная область, в которой величины молекулярной вязкости и турбулентной вязкости, обусловленной неупорядоченными вихреобразованиями, имеют один порядок.

Нерегулярное пульсационное движение можно качественно рассматривать как результат наложения пульсаций различных масштабов. Под масштабом турбулентности подразумевается порядок величин тех расстояний, на протяжении которых существенно меняется скорость движения. При очень больших числах Рейнольдса в турбулентном потоке присутствуют пульсации с масштабами от самых больших до очень малых. Основную роль играют крупномасштабные пульсации, масштаб которых всего в несколько раз меньше, чем характерные размеры области

течения l, а скорость в несколько раз меньше, чем изменения средней скорости ∆V на протяжении расстояния l . Частоты крупномасштабных пульсаций имеют порядок отношения средней скорости к размеру области течения l . Мелкомасштабные пульсации, соответствующие большим частотам, участвуют в турбулентном потоке со значительно меньшими амплитудами. Однако только здесь становится существенной вязкость жидкости. Из описанной выше качественной картины структуры турбулентного потока становится ясным, что высокую информативность должны иметь корреляционные функции скоростей. Они являются количественной характеристикой связи между значениями скоростей в двух достаточно близких точках потока.

* За помощь в переводе автор приносит благодарность А.Л.Локтеву.

84

Следует отметить, что вопрос о переходе ламинарного режима течения в турбулентный на сегодня окончательно не решен, несмотря на большое теоретическое и практическое значение. Так, в 1971г. советский ученый В.А.Романов установил фундаментальный факт, что так называемое плоскопараллельное течение Куэтта (см. подраздел 5.3.2) никогда, ни при каких возмущениях не теряет устойчивости, оставаясь ламинарным при сколь угодно больших числах Рейнольдса. В рассматриваемом случае область течения ограничена двумя параллельными пластинами, между которыми находится вязкая жидкость. Пластины движутся параллельно друг другу с постоянными и противоположными по направлению скоростями, увлекая за собой прилегающие к ним слои жидкости. Устойчивость плоского течения Куэтта носит исключительный характер, привлекая к себе внимание теоретиков и экспериментаторов, т.к. все остальные ламинарные течения вязкой жидкости при некотором значении числа Рейнольдса теряют устойчивость, приобретая турбулентный характер. Турбулентный режим течения является устойчивым. ЭкспериментальноэтотфактподтверждендозначенийчислаРейнольдсапорядка1012.

Напомним, что локальная скорость турбулентного течения жидкости может быть представлена в виде суммы двух составляющих: осредненной и пульсационной.

Из-за наличия пульсаций скорости турбулентное движение всегда трехмерное, количественная оценка величины пульсаций проводится посредствам степени турбулентности:

где V – среднее значение скорости. Величина степени турбулентности меняется от 0,001 (в специально спроектированных аэродинамических трубах) до нескольких единиц (например, во время ураганов). Когда при полетах на самолетах пассажирам говорят, что самолет попал в зону турбулентности, это означает высокое значение степени турбулентности.

При развитом турбулентном течении касательные турбулентные напряжения имеют величину, превышающую величину напряжения вязкого трения на несколько порядков. Турбулентное касательное напряжение явно не зависит от динамической вязкости µ, а является функцией градиента средней скорости, степени турбулентности, предыстории потока и т.д.

Ограничиваясь для случая стабилизированного течения зависимостью касательного напряжения на стенке от градиента средней локальной скорости dVdr , вве-

дем понятие динамической скорости:

где A − безразмерный коэффициент.

Интегрируя уравнение (11.5), получим универсальный логарифмический за-

85

Логарифмический закон (11.6) впервые получил Л.Прандтлем другим, более сложным путём. Описанный простой вывод принадлежит советскому физику, лауреату Нобелевской премии, Л.Д.Ландау [12].

Логарифмическому закону распределения скоростей соответствует логарифмический закон сопротивления Прандтля-Колбрука.

Для упрощения выкладок логарифмический закон аппроксимируют степенной зависимостью

которой соответствует следующий вид формулы для коэффициента Дарси:

n = f (Re), и при турбулентном режиме течения коэффициенты Кориолиса и Буссинеска уменьшаютсясростомчислаРейнольдса (Re = 4000,α =1,13;Re = 3 106 ,α =1,025).

Полуэмпирическая формула Блазиуса достаточно хорошо описывает экспериментальные данные по коэффициенту гидравлического трения в так называемых гидравлически гладких трубах и числах Re ≤105 .

Эмпирическая формула, предложенная И. И. Никурадзе, применима для гидравлически гладких труб в области Re ≤ 106.

Экспериментальные исследования показывают, что вблизи ограничивающих поток стенок всегда имеется зона вязкого подслоя с преобладающим влиянием сил вязкого трения и сугубо нестационарным режимом течения. Вязкий подслой состоит из периодически нарастающих и разрушающихся участков потока с ламинарным режимом течения, причём толщина δ0 этих слоёв регулируется некоторым

механизмом неустойчивости. Описанная картина пристенной турбулентности позволила предложить так называемую двухслойную модель турбулентного стабилизированного (или равномерного движения) жидкости в трубах (рис. 26).

86

Рис. 26. Структура вязкого подслоя

В соответствии с этой моделью вся область течения делится на две области: турбулентное ядро и вязкий пристенный подслой δ < δ0 с промежуточной зоной

между ними.

Шероховатость поверхности трубы характеризуется средней высотой бугорков k (абсолютная шероховатость), дисперсией и другими статистиками, которые описывают форму шероховатой поверхности. Простейшим видом шероховатости является так называемая равномерно-зернистая шероховатость, представляющая собой совокупность шаров одинакового размера с плотной упаковкой. Для этого вида шероховатости величина дисперсии равна нулю и размер зерна ks является

единственным количественным критерием. Очевидно, если k << δ0 , то величина

шероховатости не должна влиять на профиль скорости, величину турбулентного касательного напряжения и, следовательно, коэффициент гидравлического трения

λ(коэффициент Дарси) должен в этом случае зависеть только от числа Re . Трубы,

вкоторых k << δ0 ,называются гидравлически гладкими трубами. В другом пре-

дельном случае k >> δ0 , вязкий подслой разрушается, и турбулентность определяется

только шероховатостью. Этот режим носит название автомодельного по числу Re, или зоной квадратичного сопротивления, так как коэффициент Дарси при изменении числа Re остаётся постоянным. В промежуточной зоне коэффициент гидравлического трения λ должен зависеть и от числа Re,и от параметров шероховатости. Первые планомерные опыты по исследованию турбулентного движения в трубах были проведены по инициативе Л.Прандтля И.И.Никурадзе с искусственной шероховатостью, близкой к равномерно-зернистой, так как величина относительного

квадратичного отклонения для этих труб δk лежала в диапазоне 0,23-0,30. Обычные трубы, применяемые в машиностроении, называются техническими и имеют относительное квадратичное отклонение δk порядка 1,5.

Зона автомодельности по числу Re является наиболее удобной для сравнения шероховатости различного вида с помощью эквивалентной шероховатости kэ . Эк-

вивалентной шероховатостью называют такую равномерно-зернистую шероховатость (точнее шероховатость по Никурадзе), при которой гидравлические потери на трение в технической трубе в зоне автомодельности равны гидравлическим потерям в трубе с равномерно-зернистой шероховатостью.

В соответствии с теорией гидродинамического подобия вводится понятие относительной шероховатости:

87

Обратная величина называется относительной гладкостью. Таким образом, в общем случае - λ = f (Re , kdý , вид шероховатости). На рис.27 представлена зави-

симость коэффициента Дарси от числа Рейнольдса и относительной гладкости по опытам Г.А. Мурина.

Рис. 27. Зависимость коэффициента Дарси от числа Рейнольдса

Основными видами шероховатости являются равномерно-зернистая и шероховатость технических труб. Зависимость гидравлических потерь на трение от расхода или средней скорости для турбулентного режима течения криволинейная, причём для больших чисел Re она описывается квадратичной параболой. В некоторых случаях для многих видов шероховатостей в ходе зависимостей коэффициента гидравлического трения в функции числа Рейнольдса нарушается монотонный характер, появляются участки максимумов и минимумов, смещающихся по числу Рейнольдса с изменением высоты или формы элементов шероховатости. Увеличение дисперсии высоты выступов ведет к увеличению коэффициента гидравлического трения во всей области чисел Рейнольдса. Определенное значение имеет шаг и плотность размещения элементов шероховатости. С увеличением расстояния между выступами увеличивается генерация турбулентности на каждом элементе, затем сопротивление начинает зависеть от числа выступов на единицу длины.

В 1948 году английским физиком Томсом был открыт эффект влияния снижения гидравлического сопротивления при турбулентном течении слабых растворов некоторых полимеров. Первые опыты были проведены с раствором метилметакрилата в монохлорбензоле. Затем были найдены более оптимальные компози-

88

ции. Так при массовой концентрации в 10-5 полиоксиэтилена (молекулярная масса порядка 106) в воде было получено снижение гидравлических потерь до 70%. Применяются также водные растворы полиакриламида и некоторые поверхностноактивные вещества (ПАВ). Механизм влияния полимеров заключается в гашении турбулентных вихрей. Эффект нашел применение во многих отраслях техники, в первую очередь – в пожарном деле.

11.2. Применение теории размерности к описанию турбулентных течений

Пусть ε будет средним значением энергии, диссипируемой в единицу времени в единице массы жидкости. Эта энергия черпается из крупномасштабного движения, постепенно передаваясь во все меньшие масштабы, пока не диссипируется в пульсациях (вихрях) масштаба ~ λ0 . Порядок величины ε может быть опре-

делен с помощью величин, характерных для крупномасштабных движений. Таковыми являются плотность ρ , размеры l и скорость ∆V . Из этих величин можно составить только одну комбинацию соответствующей размерности:

ε ~ (∆V )3 . l

Таким же образом можно оценить величину кинематической вязкости турбулентного движения:

υтурб ~ ∆V l .

Диссипацию энергии можно выразить через турбулентную вязкость в соответствии с обычным определением этих величин.

ε ~ υтурб (∆V / l)2 .

Порядок величины ∆p изменения давления также может быть определена методами теории размерности:

∆p ~ ρ(∆V )2 .

Рассмотрим теперь свойства развитой турбулентности в масштабах λ , малых по сравнению с основным масштабом l . При этом будем рассматривать область достаточно далекую от твердых границ. Определим порядок величины Vλ изменения скорости турбулентного движения на протяжении расстояний порядка λ . Величину Vλ можно рассматривать как скорость турбулентных движений масштаба λ , так как изменение средней скорости на малых расстояниях мало и им можно пренебречь. Определяющими величинами являются ε и λ . Поэтому

Vλ ~ (ελ)1/ 3 .

Это – закон Колмогорова-Обухова: изменение скорости на протяжении малого расстояния пропорционально кубическому корню из этого расстояния.

В разделе 11.1 было введено понятие динамической скорости. Аналогично можно ввести понятие динамической длины y* =υ / u* , которая будет естественным

масштабом длин вблизи стенки при турбулентном течении.

Вид зависимости для профиля средней скорости для гладкой стенки может быть записан в следующем виде:

V (y)= u* f yu* .

υ

89

Этот универсальный закон турбулентности вблизи стенки был впервые указан Прандтлем в 1925 году. В случае шероховатой стенки можно записать более общую формулу

где α, β,…безразмерные параметры, характеризующие форму неровностей и их распределение по поверхности стенки (например, дисперсия и относительный шаг).

Если выполняется условие k ≤ 4υ / u* , то профиль скорости не зависит от ше-

роховатости и стенка может рассматриваться как динамически или гидравлически гладкая. Толщину вязкого подслоя можно оценить как δυ = 5υ / u* , толщина пере-

ходной зоны будет δl = 30υ / u* . Если k ≥ 60ν / u* , то вязкий подслой практически

перестает существовать. Течение в непосредственной близости от стенки состоит из совокупности вихрей, возникающих при обтекании отдельных бугорков шероховатости.

11.3. k - ε модель турбулентности

k - ε модель турбулентности в настоящее время является наиболее применимой для проведения численных решений задач механики жидкости и газа при турбулентном режиме течения.

Кинетическую энергию турбулентных пульсаций можно записать в следующем виде:

Скорость диссипации энергии турбулентных пульсаций в единичном объеме ε равна, аналогично дисипации кинетической энергии из среднего течения, сумме членов вида

Поскольку градиенты мгновенной пульсационной скорости турбулентного движения гораздо больше градиентов средней скорости (за исключением области течения в непосредственной близости к твердым граничным поверхностям), диссипация энергии пульсационного движения обычно значительно больше диссипации энергии среднего движения.

Величина турбулентной вязкости (в случае неизотермичности течения) и величина турбулентной теплопроводности определяются из системы уравнений для k и ε.

90