Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1)

Вследствие этого вдоль периметра сечения, где кинетическая энергия потока из-за эффекта прилипания мала, возникает движение жидкости под действием перепада давления. Условие сплошности потока ведет к образованию замкнутых линий тока. Это так называемое вторичное течение, образующее парный вихрь. Таким образом, при повороте потока движение всегда трехмерное, условно разделяемое на основное (вдоль канала) и вторичное (в поперечном сечении).

Для колен круглого сечения с углом ϕ=90° и R/d ≥ 1 можно пользоваться следующей эмпирической формулой:

Для углов ϕ ≤ 70° значение коэффициента гидравлических потерь по форму-

ле (15.10) ) надо умножить на k = 0,9sinϕ.

Все количественные данные по коэффициентам местных гидравлических потерь справедливы для достаточно равномерной эпюры скоростей во входном сечении. При неравномерной эпюре скоростей потери существенно возрастают (см подраздел 9.2). Для стабилизации величины потерь, необходимой для надежной работы систем гидропневмоавтоматики, часто используют сетки или перфорированные пластины, т.е. гидравлические сопротивления, равномерно распределенные по сечению. При прохождении потока через такое сопротивление появляется поперечная составляющая скорости, живое сечение части потока с большей величиной скорости увеличивается, а живое сечение части потока с меньшей величиной скорости уменьшается. При некоторой оптимальной величине коэффициента гидравлических потерь (при малой степени неравномерности порядка 2) эпюра скоростей становится равномерной. При значении коэффициента потерь меньше оптимального неравномерность поля скоростей уменьшается, сохраняя знак; при значении коэффициента потерь больше оптимального знак неравномерности изменяется.

Гидравлические потери в сетчатом фильтре при турбулентном режиме течения можно подсчитать по следующей формуле [2]:

рость на подходе к сетке, m − коэффициент скважности сетки (коэффициент живого сечения.

15.1.2. Расчет простых трубопроводов

Расчет трубопроводов обычно проводится либо графическим, либо численным методом. Обычно рассматривают три типовых задачи.

141

Рис. 52. Основные схемы трубопроводов: a-последовательное соединение трубопроводов, b-параллельное соединение трубопроводов, c-разветвленный трубопровод

Задача 1

Исходные данные: расход Q , давление p2, свойства жидкости (ρ, ν), размеры трубопроводов, материал и качество поверхности трубы. Требуется найти давление в начальном сечении трубы p1 (величина p1/(ρg), в зависимости от задачи, называется потребным Hпотр или располагаемым напором Hрасп).

Решение: по расходу и диаметру трубопровода находят скорости во всех сечениях; по числу Рейнольдса определяют режимы течения и величины коэффициентов гидравлических потерь. Затем из уравнения (15.1) находят искомое давление и величину потребного напора.

Задача 2

Исходные данные: располагаемый напор, свойства жидкости, размеры и шероховатость трубопровода. Требуется найти расход жидкости.

Решение: при ламинарном режиме течения и замене местных сопротивлений эквивалентными длинами задача решается просто. Используя уравнение (15.2), в уравнении (15.1) оставляют одну скорость, например, в конечном сечении. Затем по этой скорости определяют значение расхода. При турбулентном режиме течения задачу целесообразно решать методом простой итерации, преобразовав уравнение (15.1) следующим образом:

где (n) – номер приближения. В качестве первого приближения целесообразно решить задачу при λ =0,03. Хорошие результаты дает также метод деления пополам.

Задача 3

Исходные данные: расход, располагаемый напор, свойства жидкости и все размеры трубопровода, кроме одного диаметра. Требуется найти диаметр этого трубопровода.

Решение: в предположении ламинарного режима течения задача решается путем замены в уравнении (15.1) скоростей через расход, диаметр и прямого вычисления одного неизвестного. При турбулентном режиме течения задачу можно решать аналитическим методом простой итерации или методом деления пополам. Возможно также задаться нескольким значениями диаметра, решить для каждого диаметра

142

задачу 1 и затем графически или, подобрав аппроксимирующий полином, аналитически найти одно значение из условия равенства располагаемого и потребного напоров.

После определения диаметра необходимо выбрать ближайшее большее значение стандартного диаметра (в сортаменте указывается наружный диаметр и толщина стенки) и затем провести настройку трубопровода путем постановки диафрагмы (шайбы). Для этого нужно еще раз решить задачу 3, определив величину отверстия диафрагмы.

15.1.3. Параллельное соединение трубопроводов

Такое соединение показано на рис. 52 для случая трех трубопроводов, расположенных в горизонтальной плоскости. Обозначим полные напоры в точках M и N как HM и HN; расходы в параллельных трубопроводах через Q1, Q2 и Qi; суммарные потери напора в трубопроводах как h1, h2 и hi .

Очевидно, что расход до соединения трубопроводов, равный расходу после слияния, равен сумме расходов во всех параллельно соединенных ветвях:

i=1

Относя потери на слияние и разветвление потоков к течению во входном и выходном трубопроводах, выразим гидравлические потери в каждом трубопроводе через полные напоры в точках M и N .

Очевидно, что можно сделать заключение о равенстве потерь в параллельно соединенных трубопроводах.

Система уравнений (15.13) и (15.14) позволяет рассчитывать систему параллельно соединенных трубопроводов. Типовая задача состоит в определении расходов в параллельно соединенных трубопроводах при известном расходе в основной магистрали и размерах трубопроводов.

15.1.4. Разветвленный трубопровод

Разветвленным трубопроводом называется соединение нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение – место разветвления или смыкания труб (см. рис. 52).

Очевидно, что как и для параллельных трубопроводов Q=Q1+Q2+Q3. Запишем уравнения Бернулли для сечения М-М и конечных сечений всех трубопроводов, пренебрегая разностью скоростных расходов:

H M = z1 + p1 /(ρg)+ h1 , H M = z2 + p2 /(ρg)+ h2 , H M = z3 + p3 /(ρg)+ h3 .

Полученная система уравнений позволяет решать ряд задач по расчету разветвленного трубопровода.

15.1.5.Трубопровод с насосной системой подачи

Вподразделах 15.1.2, 15.1.3 и 15.1.4 рассмотрены отдельные участки трубопроводов или самотечные трубопроводы (такой, в частности, является система трубопроводов знаменитых Петергофских фонтанов). В машиностроении основным способом является подача жидкости насосом, энергетической машиной для создания напорной подачи жидкости.

143

Рис.53. Трубопровод с насосной подачей

Рассмотрим работу насоса на разомкнутый трубопровод (рис.53), по которому жидкая среда (в дальнейшем жидкость) перемещается из нижнего бака с давлением на свободной поверхности p0 , в верхний бак с давлением p1 .

Запишем уравнение Бернулли для потока жидкости во всасывающем трубопроводе (линия всасывания) для сечений O-O и H-H:

и уравнение Бернулли для потока жидкости в напорном трубопроводе (линия нагнетания) для сечений K-K и I-I:

Рассматривая уравнения (15.16) и (15.17), найдем приращение удельной энергии жидкости в насосе для единицы ее веса:

определяется трубопроводом и носит название кривой потребного напора, а величина (принимая αk =αн =1)

называется напором насоса. Напор насоса является функцией его объемной подачи, т.е. объема подаваемой жидкой среды в единицу времени Q.

Зависимость основных технических показателей насоса, в том числе напора, от подачи при постоянных значениях частоты вращения, вязкости и плотности жидкой среды на входе в насос называется характеристикой насоса.

В формулах (15.17) - (15.18) приняты следующие обозначения:

pн – давление на входе в насос, т.е. давление жидкой среды на входе в насос; pk – давление на выходе из насоса, т.е. давление жидкой среды на выходе из насоса;

144

Vн – скорость жидкой среды на входе в насос; Vk – скорость жидкой среды на выходе из насоса;

zн – высота центра тяжести сечения входа в насос;

zk – высота центра тяжести сечения выхода из насоса;

γ= ρg – удельный вес жидкой среды;

ρ– плотность жидкой среды;

g – ускорение свободного падения

Необходимым условием устойчивости работы насоса, соединенного с трубопроводом, является равенство, развиваемого насосом напора, величине потребного напора трубопровода.

Потребный напор трубопровода складывается из геометрической высоты подъема жидкости z1 , разности пьезометрических высот(p1-p0)/γ, скоростного на-

V 2

пора в конечном сечении трубопровода α1 21g и суммы гидравлических потерь во

всасывающем и напорном трубопроводах.

Для замкнутого трубопровода геометрическая высота z1 равна нулю, p1 = p0 , V1 = 0 и величина потребного напора будет определяться только гидравлическими потерями, в этом случае кривая потребного напора совпадет с характеристикой трубопровода − зависимостью гидравлических потерь от величины расхода жидкой среды.

V 2 −V 2

Величина p = pk − pн + ρ k н + ρg(zk − zн ) называется давлением насоса.

2

Давление насоса связано с напором очевидной зависимостью: p = γH = ρgH

Рис. 54. Графическое нахождение рабочей точки

При установившемся режиме работы потребный напор трубопровода равен напору насоса. Это положение графически изображено на рис.54, где совмещены характеристики трубопровода и насоса. Рабочая точка обозначается вертикальной штриховой линией. Такой способ нахождения рабочей точки можно использовать только в том случае, если частота вращения двигателя, приводящего насос в действие, не зависит от нагрузки.

145

Для аналитического решения задачи по нахождению рабочей точки необходимо иметь аналитические выражения для напора насоса и для зависимости потребного напора трубопровода от расхода жидкости.

15.2. Гидравлический расчет трубопроводов при неустановившемся движении

Уравнение Бернулли для неустановившегося движения струйки идеальной жидкости получено в разделе 7. Для неустановившегося потока вязкой жидкости, с учётом неравномерности распределения скоростей и потерь напора, уравнение Бернулли можно записать следующим образом:

Введение в уравнение (15.21) величины модуля скорости позволяет рассматривать возможность изменения направления потока во времени без изменения индексов величин давления. Применение для расчета неустановившегося движения жидкости уравнения (15.21) является первым приближением, так как значения коэффициентов α, β и ζ для неустановившегося движения неизвестны. По существу, надо ставить задачу на базе уравнений Навье-Стокса для ламинарного режима течения и уравнений Рейнольдса для турбулентного режима течения.

Принимая коэффициенты Кориолиса и Буссинеска равными единице и пренебрегая величиной скорости в первом сечении и геометрическими напорами, упростим расчетное уравнение следующим образом:

Введём безразмерные переменные.

•Безразмерное время

τ = Tt ,

где T – характерное время процесса, например, период при колебательном процессе, время нарастания или падения давления при монотонном характере его изменения.

•Безразмерный перепад давления

f (τ)= p1 − p2 ,

∆pmax

где ∆pmax − максимальная мгновенная разность давлений в начальном и конечном

сечениях.

•Безразмерная скорость

Подставляя безразмерные переменные в уравнение (2), после несложных преобразований получим:

146

Комплекс Sh имеет вид, аналогичный числу Струхала, пропорциональному отношению локального ускорения к конвективному. В нашем случае физический смысл критерия иной: это отношение условной скорости частицы жидкости при ее движении на участке длиной l за время Т к мгновенному максимальному значению скорости за счет перепада давления без учета потерь:

Итак, имеем задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

В практике инженерных расчетов при неустановившихся движениях жидкости, так же как и при стационарных течениях, целесообразно рассматривать задачи трех типов. В частности, одной из распространенных задач является определение расхода или средней скорости при известном законе изменения давления во входном и выходном сечениях трубопровода — задача первого типа. В достаточно коротких трубопроводах, когда можно пренебречь волновыми явлениями, обычно используют уравнение Бернулли для неустановившегося течения жидкости [8]. Задачи этого типа характерны для участков гидравлической сети, соединяющих емкости с заданными законами изменения давлений, или определяемыми дополнительными соотношениями (клапаны насосов и форсунок системы топливоподачи дизелей, участки трубопроводов гидропередач с аккумуляторами давления, искусственные клапаны сердца и т.д.).

Если комплекс Sh==0, то дифференциальное уравнение (15.23) превращается в алгебраическое, решая которое можно получить квазистационарное значение скорости в зависимости от времени. Сравнивая решения дифференциального уравнения (15.25) при различных значениях комплекса Sh с (квазистационарным без учета инерционности столба жидкости), можно получить границу применимости гипотезы квазистационарности. Уравнение (15.25) и его размерный аналог (15.22) являются уравнениями типа Рикатти. Они сводятся к квадратурам только для некоторых видов функции f(τ), в частности, для f(τ)==const (скачок давления), решение приводится во многих книгах по гидравлике и в разделе 14.

На рис. 55 изображены результаты расчета для случая возрастания перепада давления по линейному закону в виде серии сплошных кривых с числом Sh в качестве параметра. Кривая 1 соответствует квазистационарному случаю, когда Sh==0 (расчет по формуле (9), кривая 2 соответствует числу Струхала 10-3, кривая 3− 10-2, кривая 4— 10-1 и кривая 5— 1. Для чисел Sh<0,001 решение дифференциального уравнения (6) практически не отличается от решения, даваемого уравнением (9). При всех значениях критерия Sh ≥ 0,001 точное решение больше отличается от квазистационарного решения на начальном отрезке времени. Для значений Sh ≥ 0,1 конечная величина скорости начинает заметно отличаться от своего квазистационарного значения. При Sh ≥ 1 меняется даже качественный характер точного реше-

147

ния: меняется знак вогнутости зависимости скорости от времени.

Рис. 55

Кривые 6, 7, 8, 9 и 10 дают результаты расчета для случая линейного падения перепада давления до нулевого значения и соответствуют числам Струхала: 0, 10-3, 10-2, 10-1 и 1. Во всех случаях для Sh > 0 при уменьшении перепада давления до нулевого значения имеется конечное значение скорости.

Рис. 56. Звисимость безразмерной скорости х от времени τ

На рис. 56 изображена зависимость безразмерной скорости при синусоидальном законе изменения перепада давления. Этот закон характерен для систем гидропневмоавтоматики. Численное решение, выполненное для значения Sh = 1 (кривая 2), существенно отличается от квазистационарного (кривая 1): уменьшается амплитуда колебаний, наблюдается существенный сдвиг фазы.

Безразмерная форма записи уравнений удобна для их решения на ЭВМ, так как порядок чисел близок к единице: это позволяет избежать переполнения и машинного нуля.

15.3. Задачи

15.3.1.

Жидкость (ρ=900 кг/м3, υ=0,2 Ст) с расхо- дом Q=113 л/мин подводится к трем одинако- вым бакам по технически гладкому трубопро- воду диаметром d=200 мм. Определить коэф-

фициенты сопротивления кранов, установленных на входе каждого бака, при которых обеспечивается одновременное заполне-

ние баков. Задачу решить при следующих условиях: l1=l2=l3=5 м, в начальный момент Рм=0,6 МПа.

148

15.3.2.

Жидкость (ρ=900 кг/м3, υ=20 Ст) с расхо- дом Q=113 л/мин подводится к трем одинако- вым бакам по технически гладкому трубопро- воду диаметром d=200 мм. Определить коэф-

фициенты сопротивления кранов, установленных на входе каждого бака, при которых обеспечивается одновременное заполне-

ние баков. Задачу решить при следующих условиях: l1=l2=l3=5 м, в начальный момент Рм=0,6 МПа.

15.3.3.

Насос подает масло по трубопроводу 1 длиной L1=5 м и диамет- ром d1=8 мм в количестве Q=0,3 м/с. В точке М трубопровод 1 раз- ветвляется на два (2 и 3) трубопровода, имеющих размеры L2=8 м, d2=8 мм, L3=2 м, d3=5 мм. Определить давление, создаваемое насо-

сом, при вязкости масла υ=0,5 Ст и плотностью ρ=900. Режим течения на всех 3-х участках считать ламинарным. Местные гидравлические сопро-

тивления отсутствуют. Давление в конечных сечениях труб атмосферное, а геометрические высоты одинаковы.

15.3.4.

Определить требуемый напор для подачи воды в количестве Q=4 л/с, если ζ=3,5, h1=4 м, h2=3 м,

l=10 м, l1=3 м, l2=1,5 м, d=20 мм.

15.3.5.

В трубопроводе с D=400 мм установлен теплообменник, со- стоящий из 250 трубок с d=25 мм и l=0,5L. Учитывая только потери на трение по длине и считая режим течения турбу- лентным в гидравлически гладких трубах, определить, во сколько раз сопротивление теплообменника больше сопро- тивления трубы диаметром D и длиной L.

15.3.6.

По трубопроводам с одинаковым диаметром при открытии крана К наполняются нефтяные баки А, Б и В, объёмом V каждый. После заполнения одного из баков кран закрывается. Определить объём нефти в других баках. Учитывать только потери на трение по длине. Режим течения принять ламинарным. Объём труб не учитывать. В каких трубопро- водах необходимо установить дополнительные местные сопротивления и какой эквивалентной длины, чтобы баки заполнялись одновременно?

149

15.3.7.

Определить с точностью до ε=0,1 мм диаметр трубопровода длиной L=10 м при расходе Q=5 л/с и потерях напора Н=10 м. Вязкость жидкости υ=2 10-6 м2/с, величина абсолютной эквивалентной шероховатости ∆ =0,05 мм.

15.3.8.

Определить с точностью до 0,1 мм зависимость потребного диаметра трубопровода от величины абсолютной эквивалентной шероховатости kэ в диапазоне от 0,01 до 0,05 мм. Длина трубопровода l=10 м, расход Q=5 л/с, потери напора Нтр=10 м. Вязкость жидкости υ=2 10−6 м/с.

15.3.9.

Система смазки двигателя внутреннего сгорания сводится к эквивалентному трубопроводу длиной l=0,25 м и диаметром d=4 мм с местным сопротивлением в виде отверстия в тол- стой стенке с диаметром d0=2 мм. Коэффициент гидравличе-

ских потерь описывается следующей эмпирической формулой:

Определить максимальный расход масла Q, прокачиваемый через масляную систему, если давление, определяемое настройкой переливного клапана, равно p=0,45 МПа; вязкость масла υ=12 сСт; плотность ρ=920 кг/м3.

15.3.10.

Определить диаметр жиклера d главной дозирую- щей системы карбюраторного двигателя с точностью до 0,01 мм. Схема карбюратора представлена на ри- сунке. Коэффициент расхода жиклера подсчитывает-

Значение параметров: диаметр горловины D=50 мм; плотность воздуха ρ=1,15 кг/м3, плотность бензина ρ=790 кг/м3, вязкость воздуха υ=0,000015 м/с, вязкость бензина ν=0,000007 м2/с, коэффициент сопротивления воздушного тракта ζ=0,05, атмосферное давление Р=750 мм рт. ст.

150