Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1)

.pdf
Скачиваний:
1016
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
4.79 Mб
Скачать

Оптимальное значение рабочего давления для стационарных установок обычно не превышает 600 кПа (6 бар).

При всасывании компрессором воздуха из окружающей среды в систему попадают водяные пары. Абсолютная влажность воздуха – это масса паров воды, содержащихся в 1 м3. Влажность насыщенного пара – это наибольшая масса паров, которая может содержаться в 1 м3 воздуха при данной температуре. Относительная влажность воздуха, измеряемая в процентах, определяется по формуле:

Абсолютная влажность · Относительная влажность = Влажность насыщенного пара 100%

Точкой росы называется температура, при которой относительная влажность становится равной 100%. При понижении температуры ниже точки росы начинается конденсация содержащихся в воздухе паров воды. Температура точки росы воздуха должна быть на 2-3°C ниже температуры окружающей среды. Повышенная влажность воздуха уменьшает долговечность пневматической системы. Поэтому для ее снижения применяют различные способы осушки.

Различные функции подготовки сжатого воздуха (фильтрация, регулирование и смазка элементов пневматической системы) могут выполняться отдельными элементами или одним устройством блоком подготовки воздуха. В современных системах подача смазки в сжатый воздух не всегда нужна. Влага, загрязнения и избыток масла могут привести к износу движущихся частей и уплотнений. Важную роль играет выбор воздушного фильтра. Основным параметром фильтра сжатого воздуха является размер ширины ячеек фильтрующего элемента, от которого зависит размер наименьших частиц, задерживаемых фильтром. В нормальных фильтрах размеры ячеек находятся в диапазоне от 5 до 40 микрометров (мкм). Под степенью фильтрации понимается процент твердых частиц определенного размера, которые могут отделяться от потока воздуха. Например, степень фильтрации 99,99% гарантируется для размеров частиц от 5 мкм. В фильтрах тонкой очистки могут отфильтровываться 99,999% частиц величиной более 0,01 мкм. Для определения срока замены фильтра необходимо проводить визуальный контроль или измерение перепада давления на фильтре.

21

3.ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ

3.1.Основные понятия

Кинематика жидкости является разделом механики жидкости и газа, в котором жидкость изучается вне зависимости от действующих сил. Кинематика устанавливает связь между геометрическими характеристиками движения и временем.

Общий характер движения жидкой среды, благодаря ее текучести, значительно сложнее, чем в случае твердого тела. Под скоростью в кинематике жидкости и газа понимают скорость некоторой точки элементарной жидкой частицы. Так как в математической модели жидкости – сплошной среде – от жидкой частицы в пределе переходят к точке, то местоположение этой точки внутри жидкой частицы несущественно. Экспериментальное наблюдение за аналогом модели жидкой частицы осуществляется посредством введения в поток краски с плотностью, мало отличающейся от плотности жидкости. Наблюдения показывают, что в природе и в технике наблюдается два вида, два режима течения: слоистое, или ламинарное; и турбулентное, или неупорядоченное.

Ламинарный режим течения (движения) жидкости – это такой режим течения, при котором частицы жидкости перемещаются по траекториям, направленным вдоль общего основного течения, без поперечного перемещения; пульсации давления и скорости отсутствуют. В частном случае прямой трубы частицы жидкости перемещаются параллельно ее оси. Слово «ламинарное» происходит от латинского слова l a m i n a – "пластина, полоска".

Турбулентный режим течения жидкости – это такой режим течения, при котором частицы жидкости перемещаются по случайным траекториям, имеющим неопределенную, случайную пространственную форму. Турбулентное течение имеет беспорядочный, стохастический характер, сопровождается постоянными поперечными и продольными пульсациями давления с переменными амплитудами и частотами. Слово «турбулентное» – от латинского слова t u r b u l e n t u s – "беспорядочный".

В некоторых случаях течение жидкости имеет перемежающийся характер: в одной и той же точке пространства происходит смена ламинарного режима турбулентным через неравномерные промежутки времени. Это так называемая "переходная область течения". Переход ламинарного режима течения жидкости в турбулентный связан с потерей устойчивости ламинарного движения при наложении на него малых возмущений в виде двумерных колебаний, распространяющихся в направлении основного течения.

Приведем пример, характеризующий затраты энергии на поддержание турбулентного режима течения, принадлежащий академику А.Н.Колмогорову: если бы не было турбулентности, Волга потекла бы со скоростью 3000 км/час вместо 2-3 км/час. Тем не менее, турбулентный режим течения является устойчивым. Экспериментально этот факт подтвержден до значений числа Рейнольдса порядка 1012.

Существует два метода изучения движения жидкости. По методу Лагранжа изучают движение в пространстве индивидуальных частиц жидкости. По методу Эйлера изучают движение, происходящее в некоторой точке пространства в любой момент времени, причем естественно, что через фиксированную точку пространства проходят различные частицы жидкости. Таким образом, по методу Эйлера объектом изучения является не сама жидкость, а фиксированная часть пространства, заполненная жидкостью. Исследованию подлежит изменение различных элементов

22

движения в фиксированной точке пространства с течением времени и изменение элементов при переходе к другим точкам пространства. Основные уравнения динамики жидкости для обоих методов описания были выведены Эйлером. В нашем курсе все изложение построено, главным образом, на методе Эйлера. Объектом изучения являются, по существу, различные векторные и скалярные поля, характеризующие движение жидкости, например, поле скоростей:

V =V (r,t),

(3.1)

где r – радиус-вектор, t – время - или в проекциях:

Vx =Vx (x, y, z,t); Vy =Vy (x, y, z,t); Vz =Vz (x, y, z,t);

ρ = ρ(x, y, z,t) – поле плотности и т.д.

Аргументы x, y, z, t носят название переменных Эйлера. В дальнейшем изложении будем пользоваться декартовыми прямоугольными координатами, хотя при решении практических задач применяются различные системы координат.

Будем считать, что все кинематические величины – непрерывные и дифференцируемые функции. В отдельных случаях непрерывность может нарушаться: могут образовываться поверхности разрыва.

Движение или течение сплошной среды характеризуется в каждый момент времени, в каждой точке пространства определенной величиной и направлением скорости, называемой местной или локальной скоростью.

При турбулентном режиме течения локальная скорость может быть определена следующим образом:

 

1 t+T ~

V =

 

Vdt,

T

 

t

где ~ – мгновенное значение локальной скорости;

V

T – интервал осреднения.

Ускорение жидкой частицы определяется полной производной вектора скорости по времени:

a =

dV

,

(3.2)

dt

 

 

 

которую называют также индивидуальной, или субстанциальной производной.

Учитывая зависимость вектора скорости от времени и координат, по правилам дифференцирования сложной функции найдем:

dV

=

V

+

V dx

+

V dy

+

V dz

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

t

x dt

y dt

z dt

 

 

 

 

или

d V

dt

→ →

=V +Vx V t x

+Vy V y

+Vz V . z

В векторной формуле, используя оператор Гамильтона (набла), ускорение жидкой частицы можно представить в виде:

 

 

d V

V

→ →

(3.3)

 

 

t + (V )V .

dt =

 

Напомним, что оператор Гамильтона является условным вектором. В декартовых прямоугольных координатах:

23

= i x + j x + k x .

Если ϕ – некоторый скаляр, то ϕ будет вектором, градиентом ϕ :

ϕ = grad ϕ = i ϕx + j ϕx + k ϕx .

Если a – произвольный вектор, то скалярное произведение ( a ) дает дивергенцию вектора a :

a = div a = i axx + j axy + k axz ,

а векторное произведение [ ×a ] – вектор ротора или вихря a :

i

j

k

 

az

 

a

 

 

 

ax

 

az

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ×a] = rot a = ∂ ∂x

∂ ∂y

 

 

 

y

+

 

 

y

ax

∂ ∂z = i

y

z

 

j

z

x

 

+ k

x

y

.

ax

ay

az

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первое слагаемое правой части уравнения (3.3) выражает изменение скорости в фиксированной точке пространства во времени и может быть названо локальной составляющей ускорения; второе слагаемое характеризует изменение скорости частицы при ее перемещении и может быть названо конвективной составляющей ускорения.

Аналогично можно найти субстанциальную производную по времени от других определяющих величин, например, плотности или температуры:

dρ

=

ρ

 

+Vx

dt

t

 

 

 

 

dT

 

=

T

 

+Vx

dt

 

t

 

 

 

 

 

ρx +Vy

T +Vy x

ρ

+Vz

ρ

=

ρ

+ (V )ρ,

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

z

t

 

 

T

+V

z

 

T

=

 

T

+ (V )T.

 

y

 

z

 

t

 

 

 

 

 

 

Конвективная составляющая ускорения может быть как при нестационарном (неустановившемся), так и при стационарном (установившемся) движении, а локальное – только при нестационарном.

В проекциях на оси координат x, y, z ускорение может быть записано как

dVx

dt dVy

dt dVz

dt

=

 

Vx

 

+V

 

 

 

 

 

t

 

x

 

 

 

 

=

Vy

 

+V

 

 

 

 

t

 

x

 

 

 

 

=

 

Vz

+V

 

 

 

 

t

 

x

 

 

 

 

Vx +Vy x

Vy +Vy x

Vxz +Vy

Vx +Vz y

Vy +Vz y

Vyz +Vz

Vx

=

 

 

Vx

 

+ (Vr )V

 

 

 

 

 

z

 

t

x

 

 

Vy

=

 

 

Vy

+ (Vr

)Vy

 

 

 

 

z

 

t

 

Vz

=

 

Vz

+ (Vr )V

 

 

 

z

 

t

z

 

 

Введем некоторые понятия.

Линией тока называется воображаемая линия в жидкости, в каждой точки которой в данный момент времени вектор скорости касателен к ней. Совокупность линий тока, проходящих через все точки некоторого контура, образует трубку тока. Жидкость, заключенная внутри трубки тока, образует струйку. Очевидно, уравнение линии тока будет:

dx

=

dy

=

dz

.

(3.4)

Vx

 

 

Vy

Vz

 

Линия, по которой перемещается определенная частица жидкости, называется траекторией. Линию, на которой в данный момент времени расположены частицы,

24

прошедшие в разное время через одну и ту же точку пространства, называют линией отмеченных частиц.

При установившемся движении траектория, линия тока и линия отмеченных частиц совпадают.

В общем случае через любую точку движущейся среды можно провести лишь одну линию тока, но существуют особые точки, в которых величина скорости должна быть равна нулю или бесконечности.

Так как трубка тока образована совокупностью линий тока то, очевидно, что количество вещества, протекающего в любом сечении трубки, будет одним и тем же.

Поток вектора скорости Q через поверхность A есть скалярная величина, рав-

ная

 

(V n)dA = ∫(Vx dydz +Vy dxdz +Vz dxdy).

 

Q = ∫Vn dA = ∫

(3.5)

A

A

A

 

Поток вектора скорости физически представляет собой секундный объемный расход жидкой среды через поверхность A.

Размерность потока вектора скорости будет м3/с.

Если поверхность A замкнута, то при отсутствии внутри поверхности источников и стоков, поток вектора скорости через замкнутую поверхность будет равен нулю.

Массовый расход Qм = ρQ в СИ измеряется в кг/с.

В гидромеханике широко применяется понятие циркуляции скорости.

Если в векторном поле скоростей проведем отрезок произвольной кривой АВ,

то криволинейный интеграл:

 

 

 

 

 

ΓAB = B

(V dl)= B

 

V

 

cosα dl = B(Vxdx +Vy dy +Vz dz)

(3.6)

 

 

A

A

 

 

 

A

 

 

 

 

определяет величину циркуляции скорости по контуру на участке АВ (рис.2).

Рис. 2. К понятию циркуляции

Если кривая, по которой определяется циркуляция – замкнутая, то величина циркуляции определяется интегралом по замкнутому контуру:

Γ = ∫(Vxdx +Vy dy +Vz dz).

Рис. 3. К понятию вихря скорости

25

Рис. 4. Вращение сосуда с жидкостью

Рассмотрим физический смысл вихря вектора скорости. Напомним известное понятие вращения твердого тела. Пусть плоское тело вращается с угловой скоростью ωz вокруг оси Z (рис. 3). Положительное направление вращения – от оси X к оси Y (против часовой стрелки). Величина скорости точки М будет равна V =ωxz ,

а ее проекции на оси X и Y соответственно:

Vx = −ωz y , Vy = ωz y.

Отсюда

V

x

= −ωz,

Vy

=ωz .

 

 

x

y

 

Следовательно,

rotzV =

Vy

V

x

= 2

ωz

или ωz =

1

rotz V .

x

 

 

2

 

 

y

 

 

 

Если аналогичным образом рассмотреть вращение твердого тела вокруг осей X и Y, то определим

 

1

 

V

z

 

Vy

 

1

 

 

1

V

x

 

V

z

1

 

ωx =

 

 

 

 

 

=

 

rotx V ,

ωy =

 

 

 

 

=

 

roty V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

y

z

 

2

2

z

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, вихрь вектора скорости жидкой частицы может быть определен вектором угловой скорости:

ω =

1

rotV.

(3.7)

2

 

 

 

Вихрь скорости характеризует вращение отдельных частиц жидкости. Можно представить себе такое движение жидкости, в котором каждая частица жидкости будет двигаться только поступательно, так что движение жидкости будет безвихревым, а между тем вся масса жидкости как целое будет двигаться по кругу.

Таким будет движение жидкости вместе с прямоугольным сосудом, вращающимся параллельно самому себе (рис. 4).

Рис. 5. Слоистое вихревое движение

26

Противоположным примером является движение жидкости слоями (рис. 5).

Vx = ay, Vy = 0, Vz = 0 .

Тогда

rotx V = 0, rot y V = 0, rotz V = −a.

Очевидно, аналогично понятию линии тока можно ввести понятие вихревой линии. Вихревой линией назовем воображаемую линию в жидкости, в каждой точке которой в фиксированный момент времени направления касательной и ротора скорости совпадают. Совокупность вихревых линий, проходящих через произвольную замкнутую кривую, образует поверхность, называемую вихревой трубкой.

3.2. Уравнение неразрывности (сплошности) в дифференциальной форме

Если при движении жидкость целиком (без пустот и разрывов) заполняет пространство, то ее плотность ρ и местная скорость связаны зависимостью, которая

называется уравнением неразрывности и выражает закон сохранения массы.

Рис. 6. К выводу уравнения неразрывности в дифференциальной форме

Рассмотрим жидкий объем в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz и подсчитаем изменение массы в объеме dx dy dz за единицу вре-

мени (рис. 6). Для этого надо вычислить поток вектора ρV через все шесть граней. Начнем с грани АВСD. Поток через нее равен

ρVx dydz,

так как положительные направления нормали и скорости противоположны. Поток через грань А’В’С’D’ будет

 

ρVx (x, y, z) +

(ρV

 

)

 

ρVx (x + dx, y, z)dydz =

x

x

 

dx dydz.

 

 

 

 

 

Таким образом, суммарный поток вдоль оси X будет

(ρVx ) dxdydz.

x

Повторяя аналогичные рассуждения с другими двумя парами граней, получим общий поток через все грани для бесконечно малого параллелепипеда:

 

(ρV

 

)

 

(ρVy )

 

(ρV

 

)

 

 

x

 

+

 

+

 

z

dxdydz.

x

 

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

27

Таким образом, мы показали, что поток через поверхность нашего элементарного объема равен произведению дивергенции вектора ρV на объем параллелепи-

педа.

Очевидно, для любого конечного объема суммарный поток есть сумма потоков из отдельных его частей. Следовательно, можно записать, что

ρVn dA = ∫ ρ(V n)dA = ∫div(ρV )dW = ∫( ρV )dW.

A A W W

Проведенные рассуждения привели к частной форме известной из курса математики теоремы Остроградского-Гаусса.

Секундное изменение массы в неизменном объеме W можно подсчитать другим образом:

ρdW.

W t

Следует учесть, что поверхностный интеграл положителен, если через поверхность А вытекает жидкости больше, чем втекает, а объемный интеграл при этом отрицательный, так как плотность в этом случае должна уменьшиться.

Таким образом,

AρVndA = −Wρt dW.

Используя ранее полученный результат, можно записать

ρ

 

t

+ div(ρV ) dW = 0.

W

 

В силу произвольности объема

ρ

+ div(ρV ) = 0.

(3.8)

t

 

 

Это уравнение является уравнением неразрывности в дифференциальной форме для произвольного движения сжимаемой жидкости.

Уравнение неразрывности после несложных преобразований можно представить еще в следующих формах

1

 

dρ

+

V

x

+

Vy

+

V

z

= 0

èëè

d ln ρ

+ divV = 0.

ρ

dt

x

y

z

dt

 

 

 

 

 

 

 

Для несжимаемой жидкости обратится в нуль

ρ

, и уравнение неразрывно-

сти будет:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

Vy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

x

+

 

+

V

z

= 0

 

 

или

divV = 0.

 

 

x

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для стационарного (установившегося) движения

ρ

= 0 и уравнение не-

разрывности можно записать как

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

(ρV

x

)

+

 

(ρVy )

+

(ρV

z

)

или

div(ρV ) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

3.3.Уравнение неразрывности в гидравлической форме

Втехнических приложениях существенное значение имеет гидравлическая форма записи закона сохранения массы.

Рис. 7. К выводу уравнения неразрывности в гидравлической форме

Рассмотрим установившийся поток сжимаемой жидкости в трубе произвольной формы (рис. 7). Поверхность А=А1 + А2 + А3 ограничит некоторый объем жидкости в трубе, которую будем считать материальным представлением струйки тока.

ρVn dA = ∫ ρVn dA1 + ∫ ρVn dA2 + ∫ ρVn dA3 = 0

A

A1

A2

A3

Так как боковая поверхность А3 непроницаема для жидкости, то на ней Vn = 0

и, следовательно,

ρVn dA3 = 0.

A3

Так как на поверхности А1 нормаль направлена наружу от выделенного объема, а скорость – внутрь, и Vn =-Vn , где Vn – проекция скорости на внутреннюю

нормаль, то

ρVn dA1 = ∫ ρVn dA2 .

A1

A2

Если поверхности А1 и А2 нормальны в каждой точке линиям тока, то их называют "живыми" сечениями.

Если сечения близки к плоским, то

ρ1 A1V1 = ρ2 A2V2 .

(3.9)

Это – равенство массовых расходов. Для несжимаемой жидкости ρ = c o n s t и

A1V1 = A2V2

Это – равенство объемных расходов.

Из (3.10) логично следует понятие средней по сечению скорости:

V = Vi dA = Q , i =1,2. Ai Ai

(3.10)

(3.11)

29

Рис. 8.Изменение параметров потока по длине канала с плавноизменяющимся сечением

На рис. 8 представлено изменение средней скорости по длине канала с достаточно плавным изменением площади поперечного сечения в предположении несжимаемости жидкости. На участке 2-3 скорость возрастает, на участке 4-5 – уменьшается.

Таким образом, при установившемся течении проявляется конвективная составляющая ускорения жидкости.

Следует отметить, что формулы (3.9) – (3.11) относятся как к модели идеальной жидкости без трения (без касательных напряжений), так и к реальной вязкой жидкости.

3.4. Основные теоремы кинематики жидкости

Теоремы кинематики жидкости будут приведены ниже (ввиду краткости курса) без вывода. Строгое их обоснование можно изучить в монографиях [5, 6, 8, 23].

Из теоретической механики известно, что скорость любой точки твердого тела определяется геометрической суммой скорости поступательного движения вместе с некоторым полюсом О и скорости вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс О:

 

 

→ →

 

V

=V

0

+ ω× r

0 .

 

 

 

 

 

 

Для элементарной частицы жидкости скорость складывается из скорости квазитвердого движения (поступательного и вращательного) и деформационной скорости. Это – теорема Коши-Гельмгольца, которую в векторной форме можно записать в виде:

V =V 0

 

 

+ grad F,

(3.12)

+ ω ×δr

 

 

 

 

 

 

где F = 12 (S&11δx2 + S&22δy2 + S&33δz 2 ) + S&12δxδy + S&13δxδz + S&23δyδz;

V 0 – скорость поступательного движения;

30