Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1)

Результат справедлив как для идеальной жидкости, так и для реальной, однако, величина выходного давления будет в этих двух случаях различной. Ее можно вычислить с помощью уравнения Бернулли. При учете неравномерности распределения скоростей коэффициент в уравнении импульса (коэффициент Буссинеска) определяется следующей зависимостью:

∫V 2 dA

β = .

Vср2 A

71

10. ПОДОБИЕ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

10.1 Анализ размерностей и π - теорема

Физическая величина является характеристикой физических объектов или процессов, которая допускает количественное выражение посредством указания способа ее измерения. Физическая величина может выражаться одним числом или набором нескольких чисел, например, значениями проекций вектора.

С помощью физических законов величины объединяются в систему , в которой одни физические величины – основные –принимаются за независимые, а другие – производные – являются функциями независимых величин.

Большинство применявшихся в физике систем в число основных включали длину [L], массу [M] и время [T] . Для механики жидкости и газа этот список следует дополнить термодинамической температурой [θ] и количеством вещества (в молях) [N].

Размерность производной физической величины – это выражение в форме одночлена, составленного из произведений символов основных физических величин в различных степенях, отражающая связь между производными и основными величинами. Размерность величины обозначается знаком [ ] или, реже, знаком dim (от латинского «dimensio» - «измерение»).

В Международной системе единиц (сокращенное международное название SI, русское СИ) формула размерности имеет вид:

Иногда в формуле размерности вместо обозначений основных величин системы(L, M, T,…) указывают их единицы (м, кг, с,…).

Размерной называется физическая величина, для которой не все показатели в формуле размерности равны нулю. В формуле размерности величины с нулевыми показателями степени принято опускать. Величина, независящая от выбора какихлибо единиц измерения, называется безразмерной.

При изложении теории подобия и размерности принято использовать термины параметр или переменная для обозначения любой основной или производной размерной и безразмерной величины или любой комбинации из них.

π-теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. Под безразмерными параметрами будем понимать комплексы размерных параметров, составленные таким образом, что они не имеют размерностей. Полезность выражения функции в такой безразмерной форме, очевидна.

Во-первых, использование соответственно выбранных безразмерных параметров дает возможность сопоставлять и обобщать результаты. Таким образом, применение безразмерных комплексов часто позволяет рассматривать вместе явления, которые описываются различными уравнениями в размерной форме. Использование безразмерных параметров обеспечивает лучшее понимание явления в целом, и, следовательно, во многих случаях − это путь к полному пониманию. Так как такой процесс позволяет сопоставить группу явлений, то, следовательно, используя безразмерные параметры, можно предсказывать протекание еще неисследованных явлений из этой группы, что нельзя сделать с помощью уравнений в размерной форме.

72

Во-вторых, применение безразмерных параметров уменьшает число независимых координат. Важность этого легко понять, если вспомнить, что функция одной независимой координаты может быть табулирована на одной строчке, двух независимых координат—на странице; таблица функции трех координат уже потребует книги, а для функции четырех координат будет нужна целая полка для книг.

В любой физической задаче мы имеем один или более зависимых параметров, каждый из которых является функцией некоторых независимых параметров. Обозначим зависимый параметр через q1. Пусть число независимых параметров равно m-1. Обозначим их как q2, q3,q4,…,qm. Тогда

где f1—неизвестная функция. Уравнение (10.2) эквивалентно соотношению

где f2—другая неизвестная функция.

Сформулируем π-теорему, используя вышенаписанные уравнения. Если имеется соотношение между m параметрами в виде

то можно найти эквивалентное соотношение между n безразмерными параметрами или комплексами:

где число n определяется как

Здесь m—число параметров q в уравнении (10.3) и k— наибольшее число параметров, содержащихся в первоначальном списке q1, q2, q3,q4,…,qm, которые не могут быть объединены в какой-либо безразмерный комплекс.

Эту теорему называют π-теоремой Бакингема или теоремой ВашиБакингема. Однако в действительности она является результатом работы многих исследователей, включая Фурье, Рябушинского и Релея [10].

В своей первоначальной формулировке π-теоремы Бакингем установил, что k равно минимальному числу независимых размерностей, необходимых для образования размерностей всех параметров qi. Обозначим это минимальноечисло через r. Позднее (1946) Ван Драйст [10] показал, что хотя обычно k равно r, имеются исключения и более общее правило записывается как k≤r.

Хантли в 1953 году сделал важное обобщение π - теоремы. Он показал, что можно использовать большее число независимых переменных, если четко разграничить отдельные операции и понятия, и за счет этого уменьшить число окончательных безразмерных комплексов. В частности иногда важно различать длины, измеряемые в направлениях «x» и «y» . Так, например, нельзя сокращать

73

метр в направлении теплового потока и метр, входящий в размерность площади при анализе уравнения теплопроводности [19].

Чтобы понять смысл исключений, а также некоторые другие вопросы, существенные для правильного использования π-теоремы, полезно остановиться на необходимых условиях применения π-теоремы, а также рассмотреть положения, лежащие в основе теоремы. Но прежде разберем простой пример, что даст нам более конкретную основу для такого рассмотрения. А затем перейдем к условиям применения π-теоремы и, наконец, приведем некоторые другие примеры использования этой теоремы.

Пример 1. Предположим, что мы изучаем установившееся, стабилизированное, ламинарное течение несжимаемой ньютоновской жидкости в круглой трубе. Допустим, что нам неизвестно уравнение для перепада давления. Чтобы определить вид уравнения, применим анализ размерностей. Если считать, что перепад давления ∆p является функцией скорости V, длины трубы L, диаметра D, плотности ρ и вязкости µ, то можно записать

f2(∆p, L. D, V, µ, ρ )=0. (10.6)

Из рассмотрения размерностей всех шести параметров уравнения (10.6) следует, что минимальное число независимых размерностей, из которых могут быть образованы размерности этих параметров, равно трем. (Например, размерности силы, длины и времени).

Следовательно, имеем r=3. Теперь найдем три из шести размерных параметра, которые не образуют безразмерного комплекса. Комбинация только плотности, диаметра и скорости не может быть безразмерной, поскольку из трех этих параметров лишь плотность имеет размерность массы. Поэтому заключаем, что в данном конкретном случае k=3=r.

Согласно π-теореме, число необходимых безразмерных параметров равно

6 — 3 = 3.

Если невозможно найти какой-либо комплекс из трех параметров, который не может быть безразмерным, то следует постараться найти комплекс из двух параметров и т. д. до тех пор, пока число k не будет определено.

В нашем простом примере после внимательного исследования можно найти, что одной из безразмерных зависимостей является:

Так как мы хотим, чтобы перепад давления был зависимой переменной, то можно записать:

Это соотношение совершенно корректно для рассматриваемой нами задачи. Однако целесообразно привести его к более удобному виду, содержащему тот же объем информации, но включающему меньшее число безразмерных параметров

74

или комплексов π. Физический смысл этого следующий: для полностью установившегося равномерного течения в круглом канале постоянного сечения существует определенная симметрия. В частности, перепад давления на единице длины трубы будет постоянным вдоль оси, так как поле скорости не изменяется по длине трубы. Предполагая, что эта длина измеряется в диаметрах трубы, мы должны искать соотношение вида:

где λ (по определению) есть коэффициент гидравлического трения; Re - число Рейнольдса, вычисленное по диаметру. Из большого числа экспериментов известно, что такой подход в данном случае успешен. Уравнение (10.8) хорошо описывает перепад давления вследствие трения для всех круглых труб, независимо от специфических условий. Известно, что это один из немногих случаев, когда возможно точное и полное решение уравнений Навье — Стокса, совпадающее с экспериментальными данными.

Анализируя приведенный пример, приведем условия, которые должны быть выполнены при использовании π-теоремы:

1)в систему безразмерных параметров должны входить все параметры, имеющие физический смысл, включая все независимые параметры и один зависимый;

2)каждый параметр, содержащийся в первоначальном списке, должен вхо-

дить в безразмерные комплексы π по крайней мере один раз; 3) размерности, используемые для образования размерностей физических

параметров, должны быть независимыми.

Задача

Струя жидкости истекает из сосуда в горизонтальном направлении. Поперечное сечение трубки имеет форму эллипса, вытянутого в горизонтальном направлении. Струя принимает форму цепи, звенья которой попеременно то вытянуты, то сплюснуты в горизонтальном направлении. Пользуясь методом теории размерностей, найти зависимость длины звена в начальной части струи от плотности жидкости ρ, поверхностного натяжения σ, ускорения силы тяжести g и располагаемого напора H. На наблюдении этого явления основан метод Релея − измерения поверхностного натяжения жидкости.

Ответ: l ~ ρσgH

10.2.Метод подобия

ВXIX столетии многие исследователи, в том числе Релей, решали задачи фракционного анализа обычно путем прямого использования идеи подобия и отношения сил. В XX веке такой метод стал менее популярным и почти полностью

был заменен методом, использующим π-теорему, за исключением работ несколь-

75

ких авторов в области механики жидкости. В настоящее время этот метод используется столь редко, что не существует общепринятого названия для него; (в этой книге мы будем называть его "методом подобия").

Попытаемся обсудить причины пренебрежения методом подобия за последнее время. В большинстве известных исследований не разработаны основы метода, позволяющие применять его во всех задачах фракционного анализа. Несмотря на это, метод подобия имеет ряд полезных свойств и очень естественно приводит к использованию во фракционном анализе основных уравнений, описывающих физические процессы. По этим двум причинам уместно попытаться более широко и основательно рассмотреть метод подобия.

Метод подобия в своей основе является сравнительно простым. Описанный в литературе XIX столетия и используемый в последующих приложениях в механике жидкости, этот метод включает следующие две операции:

1.Перечисляются силы, которые полагаются наиболее существенными для задачи, включая зависимые и независимые силы. (Термин «сила» здесь используется в том же смысле, что и в механике, а не в смысле "обобщенной силы", о которой идет речь в некоторых современных работах, например, в термодинамике необратимых процессов.) Каждая из этих сил выражается затем через параметры задачи с помощью физических представлений или соображений размерности.

2.Характеризующие задачу безразмерные группы создаются путем образования упомянутых выше отношений сил и линейных размеров, необходимых для обеспечения геометрического подобия.

Число комплексов π, построенных из отношений сил, равно числу независимых сил. Ради удобства принято использовать зависимую силу только в одном комплексе: в этом случае она является явной функцией независимых сил.

Внешне невелика разница между списком сил, характеризующих данный процесс, и перечнем величин, из которых состоят выражения для этих сил. Следовательно, по-видимому, нет существенного различия между методом подобия и методом π -теоремы, рассмотренным в предыдущем разделе. Однако метод подобия имеет определенные неотъемлемые преимущества и, кроме того, приводит к тем же результатам, что и π-теорема.

Обычно метод подобия постулирует следующее:

«Две системы ведут себя подобным образом, если выполняется подобие геометрическое, кинематическое и динамическое; а эти условия в системах будут выполняться, если эти две системы геометрически подобны и если отношения всех существенных для данного процесса сил одинаковы в этих системах».

Вероятно, одна из причин того, что этот метод не пользуется популярностью в последнее время, состоит в том, что последняя половина постулата далеко не достаточна, чтобы охватить все явления. В частности, во многих физических процессах можно указать величины, которые вовсе не зависят от сил (например такие, как поток тепла или количество электричества). Действительно, вторая половина постулата основана на чисто механической точке зрения. Такой взгляд превалировал в XIX столетии. Но он не подтверждается современными концепциями термодинамики. Необходимо некоторое обобщение основных понятии. Основы для такого обобщения даны в конце раздела.

Чаще всего используются лишь отношения сил. Силы, встречающиеся в природе, чрезвычайно разнообразны, и поэтому невозможно рассмотреть их все. Так как цель состоит прежде всего в уяснении метода исследования, то достаточно

76

рассмотреть одну задачу из области механики жидкости, так как метод, о котором идет речь, хорошо развит именно в этой области. Система основных безразмерных параметров, аналогичная той, которая получается при исследовании механики жидкости, может быть составлена и для других областей. Что особенно важно, метод подобия дает прочную основу для уточнения параметров при дальнейшем накоплении экспериментальных данных.

Вмеханике жидкости имеется шесть основных сил:

1)сила инерции FI , пропорциональная произведению ρ V2 L2;

2)сила вязкости FV, пропорциональная произведению µ V L;

3)сила давления FP, пропорциональная произведению ∆p L2;

4)сила упругости FE, пропорциональная произведению KS L2, где KS изоэнтропная величина объемного модуля упругости;

5)сила поверхностного натяжения Fσ, пропорциональная произведению σ L;

6)сила тяжести FG, , пропорциональная произведению ρ g L3.

Используя эти соотношения, можно образовать пятнадцать безразмерных отношений из двух сил, приведенных в таблице.

Из таблицы видно, что только шесть безразмерных чисел содержат наиболее распространенные в механике жидкости, безразмерные критерии подобия. Среди них отсутствуют число Маха, коэффициент трения и отношение теплоемкостей. Легко показать, что число Маха представляет собой квадратный корень из числа Коши, которое входит в состав этой таблицы. Коэффициент трения есть то же самое, что и коэффициент давления, или число Эйлера, т. е. отношение сил давления, действующих на поверхность, к силам инерции. Очевидно, что отношение теплоемкостей из рассмотрения приведенных здесь сил найти нельзя. Заметим, что среди пятнадцати простейших чисел только шесть настолько широко используются, что получили общепринятые названия.

Эти критерии или числа подобия широко используются не только в силу исторических причин, но также и потому, что выраженные непосредственно через отношения сил, существенных для рассматриваемого процесса, они имеют практически полезную, простейшую и легко интерпретируемую форму. В самом деле, хотя число Маха обычно используется в окончательном решении, величина, которая почти всегда появляется в основных уравнениях, описывающих рассматриваемый процесс, есть квадрат числа Маха, или число Коши. Во многих случаях использование М2 в качестве переменной упрощает проведение анализа и, кроме того, исторически, вероятно, более оправдано. Разница не столь существенна, но очевидно, что использование отношений сил позволяет получить более полезную комбинацию величин.

77

Пример 2. Вернемся к задаче о развитом стабилизированном ламинарном потоке внутри трубы, которая была решена путем использования π-теоремы в примере 1. В главе 2 найдено, что коэффициент трения может быть выражен как функция числа Рейнольдса. Однако для того, чтобы получить такой ответ в дополнение к π-теореме, оказалось необходимым ввести условие симметрии. Этот ответ является точным (корректным) в том смысле, что переменные могут быть отложены на графике зависимости коэффициента трения от числа Рейнольдса, причем в ламинарной области все опытные данные ложатся на одну линию.

Рассматривая наш набор сил, характерный для механики жидкости, допустим, что в этом случае гравитационная сила, сила поверхностного натяжения и сила упругости не имеют существенного значения. Тогда остаются сила инерции, сила давления и сила вязкости. Одна из этих сил является зависимой. Таким образом, получаются два безразмерных комплекса: один независимый и один зависимый. Этими безразмерными комплексами должны быть число Рейнольдса и коэффициент давления. Коэффициент давления легко преобразуется в коэффициент гидравлического трения с помощью уравнения, которое служит определением коэффициента трения. Уменьшению числа Рейнольдса соответствует увеличение влияния вязкого трения, т.е.увеличение коэффициента трения λ.

Обобщение метода подобия можно получить, рассматривая основные уравнения, описывающие рассматриваемый физический процесс и граничные условия. Выражение уравнения и граничные условия используются чаще, чем просто уравнения для того, чтобы подчеркнуть, что граничные условия также должны быть одинаковыми, если одно или несколько уравнений входят в систему в дифференциальном виде. Для решения задач в рамках гипотезы континуума (движение жидкостей и газов, явления упругости, классический электромагнетизм, теплообмен и термодинамика) необходимо наряду с отношением характерных сил рассматривать отношения энергий. Так, число Нуссельта представляет собой произведение отношения энергии, отношения сил и отношения физических свойств.

10.3.Фракционный анализ основных уравнений и граничных условий

10.3.1.Введение

Вэтом разделе описывается, главным образом, техника (т. е. последовательность операций) использования основных уравнений и граничных условий как основа метода подобия и фракционного анализа. Примеры, приведенные в предыдущей главе, позволяют сделать следующие важные замечания относительно этих операций.

Во-первых, чем полнее и подробнее основные уравнения и граничные условия, тем больше информации можно получить об изучаемом процессе. Наиболее подробными основными уравнениями обычно являются дифференциальные. Более того, большинство задач, для которых мы не можем найти полные аналитические решения, описывается одним или несколькими дифференциальными уравнениями

вчастных производных. Таким образом, к задачам такого рода более всего подходит фракционный анализ. Следует подчеркнуть важность исследования всех уравнений и граничных условий для получения единственного решения.

Во-вторых, используя фракционный анализ основных уравнений, следует ясно представлять физическую сущность основных уравнений и ограничения, содержащиеся в математической модели рассматриваемого явления. Очень важно

78