Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1)

Результаты расчета совпадают с экспериментальными данными, полученными Н.В.Левкоевой. При достаточном расстоянии между двумя коленами l / d > 5 суммарные потери становятся равными сумме гидравлических потерь на каждом повороте. Имеется зона, на которой гидравлические потери меньше суммы гидравлических потерь на каждом повороте, и зона повышенных гидравлических потерь.

13.2.3. Модель гидромеханической модели опорного подшипника и клиновидного слоя смазки

Проводилось сравнение результатов решения основных задач течения жидкости в зазорах и рамках приближения смазочного слоя и при использовании полных уравнений Навье-Стокса. Область течения была разбита на 12 элементов по горизонтали и на 30 – по вертикали. Расчет проводился для трех значений числа Рейнольдса 25, 200 и 400. За характерный размер в первой задаче принималось расстояние между пластинами, для клиновидного слоя смазки число Рейнольдса подсчитывалось по полусумме расстояний между пластинами на входе и выходе. За критерий сравнения принималась величина максимального давления в смазочном слое:

ε = 2(p1 − p2 ) , p1 + p2

где p1 − максимальное значение давления, полученное при помощи пакета Ansys, p2 − максимальное значение давления, вычисленное по формулам раздела 16. Результаты расчета приведены в таблице:

Таким образом, модель смазочного слоя занижает величину несущей способности подшипников, причем значительно для Re ≥ 400.

13.3. Заключение по разделу

Компьютерные технологии подвергли современный мир радикальным изменениям. Сначала они нашли широкое применение в науке, находившейся на службе у военных, затем – почти во всех сферах науки и техники. В последнее десятилетие компьютеры стали обычной принадлежностью жизни библиотекарей, администраторов, учащихся всех уровней. Однако повсеместную компьютеризацию не стоит рассматривать как абсолютное благо. Компьютерные технологии не способны заменить творческое мышление, которое может развиваться только при общении с людьми.

Один из величайших теоретиков всех времен – Майкл Фарадей – не пользовался математическими формулами. Его подход к научным открытиям – открытие нового факта, сведение его к известным принципам, сведение всех фактов к еще более высоким принципам и, наконец, установление новых принципов – никогда

101

не устареет. Интересно отметить, что не менее известный теоретик, пользовавшийся исключительно математическими методами, Джемс Кларк Максвелл, считал, что метод понимания явлений Фарадея тоже надо отнести к математическим, хотя и непредставленным в форме обычных математических символов. «Когда я переводил то, что я считал идеями Фарадея, в математическую форму, −писал Максвелл, −я нашел, что в большинстве случаев результаты обоих методов совпадали, так что ими объяснялись одни и те же явления и выводились одни и те же законы действия, но что методы Фарадея походили на те, при которых мы начинаем с целого и приходим к частному путем анализа, в то время как обычные математические методы основаны на принципе движения от частностей и построения целого путем синтеза».

Численные методы и ЭВМ должны максимально избавлять нас от рутинной работы, компьютер должен быть умным и дисциплинированным помощником, но истинная творческая деятельность и принятие окончательных решений всегда будет в сфере личности человека.

102

14.ОДНОМЕРНЫЕ ПОТОКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

14.1.Одномерная модель реальных потоков

Реальные потоки в природе и технических устройствах являются трехмерными. Однако при решении практических задач для каналов, имеющих достаточную протяженность без резких изменений формы и величины площади сечения и небольшую кривизну, можно ввести модель одномерного потока, параметры которого зависят от одной координаты: прямолинейной или криволинейной. Если кривизна линий тока и угол, образуемый ими, малы, то поток называется плавноизменяющимся. В таких потоках в пределах живого сечения давление распределяется по гидростатическому закону, а в некоторых случаях может считаться постоянным по сечению. Постоянное значение можно придать и величине скорости по сечению, отождествляя ее со среднерасходной.

Таким образом, плавно изменяющиеся потоки можно считать в первом приближении хорошей иллюстрацией модели одномерного потока. Для такого потока, считая его элементарной струйкой, должно быть в какой-то степени справедливо уравнение Бернулли, в частности для несжимаемой жидкости, например, в виде:

Экспериментальная проверка этого утверждения, представленная на рис. 8 внизу, показывает, что расчетное (зависимость 1, в соответствии с 14.12) и опытное (зависимость 2) изменения давления по длине канала на участке 1-3 мало отличаются, а на участке 3-5 расхождения между зависимостями 1 и 2 становятся значительнее. При замедлении потока могут иметь место качественные различия: зависимость 3 на рис. 8 показывает постоянное значение давления по длине канала при монотонно возрастающей функции в соответствии с законом (14.12). Описанные эксперименты могут быть объяснены тем, что в реальных жидкостях действуют касательные силы внутреннего трения, или вязкостью. Величина силы вязкости в простейшем случае ламинарного плавно изменяющегося течения определяется экспериментальной зависимостью, установленной Ньютоном:

где µ – коэффициент вязкости, или динамический коэффициент вязкости жидко-

сти;

n – нормаль к линии тока.

Учет вязкости приводит к изменению граничных условий, так как опыт показывает, что частицы жидкости и газа “прилипают” к стенке, приобретая ее значение скорости. В частности, если стенка неподвижна, скорость частиц у стенки равна нулю (рис. 32). Однако понятие средней по расходу скорости остается в силе.

103

Рис. 32. Распределение по сечению скорости в потоках идеальной (слева) и реальной (справа) жидкости

Рис. 33. К понятию гидравлического радиуса

Рассмотрим равномерное, установившееся движение жидкости в трубе произвольного сечения с периметром П (рис. 33), при котором эпюры скоростей в каждом сечении одинаковы. Пренебрегая силами инерции, уравнение движения можно записать в следующем виде:

где A – площадь поперечного сечения; l – длина канала;

( p1 − p2 ) – разность давлений (перепад давлений) по длине канала. Рассматривая формулу (14.4), можно ввести понятие гидравлического радиуса:

Очевидно, что наличие вязкости приводит к необратимому преобразованию за счет работы сил трения части механической энергии жидкости в теплоту. Эта часть энергии диссипирует, рассеивается в пространстве, как внутри потока, так и вне его.

Для учета этого обстоятельства необходимо ввести в рассмотрение так называемые гидравлические потери, имеющие размерность слагаемых уравнения Бернулли и характеризующие описанное выше преобразование энергии.

14.2. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Поток жидкости переносит в пространстве механическую энергию, причем в случае реальной жидкости происходит ее частичная диссипация, вследствие перехода некоторой доли механической энергии в теплоту. В общем случае полный поток всех видов энергии называется в физике вектором Умова-Пойнтинга. Иногда различают вектор Умова в механике (впервые введен Н.А. Умовым применительно к гидромеханике) и вектор Пойнтинга в теории поля. Вектор Умова для несжимаемой жидкости, движущейся в равномерном поле сил тяготения, можно записать следующим образом:

Для плавно изменяющегося потока жидкости вектор Умова будет

104

Тогда для одномерного потока среднюю удельную энергию, отнесенную к единице массы, можно посчитать как

Учитывая, что по сечению gz + ρpg = const , и вводя корректив кинетической энергии

∫V 3 dA

α = , (14.9)

Vср3 A

называемый также коэффициентом Кориолиса, получим следующее выражение для средней удельной энергии потока:

В зависимостях (10.10) и (14.11) индекс “ср” опущен. В дальнейшем из контекста всегда будет ясно, о какой скорости: (средней или локальной) идет речь.

Понятие средней удельной энергии потока жидкости и среднего напора можно получить и другими способами. Например, исходя из понятия мощности потока жидкости, Элементарная мощность:

Мощность потока жидкости:

Учитывая материал раздела 14.1, вводя понятие гидравлических потерь, можно записать следующее равенство:

называемое уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости. Это уравнение по существу только вводит понятие гидравлических потерь для плавноизменяющегося потока жидкости

Очевидно, что коэффициент α ≥1 , причем при равномерном в сечении поле скоростей α =1, для турбулентного режима течения α ≈1. Для ламинарного режима течения в трубе круглого сечения α = 2.

Из соображений размерности гидравлические потери можно представить в следующем виде:

105

где V – характерная скорость (обычно в сечении 1 или 2); ς – безразмерный коэффициент.

Кроме гидравлических потерь – потерь напора, часто используют понятие потерь давления:

Очевидно, что для получения величины гидравлических потерь, или коэффициента ς , необходимо привлекать либо экспериментальные данные, либо уравне-

ния, адекватно описывающие поведение вязких жидкостей. Такие уравнения рассмотрены в разделе 5.

14.3. Общие сведения о гидравлических потерях

Рассмотрение реальных природных каналов и технических гидравлических систем дает возможность разделить гидравлические потери на два вида. Во-первых, это может быть потеря полного напора по длине, обусловленная работой сил трения, распределенных по этой длине в первом приближении равномерно. Очевидно, что эти потери, называемые также потерями на трение, пропорциональны длине канала или трубопровода. Во-вторых, это может быть местная потеря полного напора, обусловленная местной деформацией поля скоростей из-за сил трения, распределенных существенно неравномерно.

Небольшой по протяженности участок трубопровода, имеющий резкое изменение конфигурации или размеров, носит название местного гидравлического сопротивления. Типичным примером местного гидравлического сопротивления является диафрагма – тонкая пластинка с отверстием, помещенная в трубопровод (рис.34). В области, непосредственно примыкающей к диафрагме, поток претерпевает резкую деформацию, его в этом случае нельзя считать плавно изменяющимся,

ипоэтому здесь неприменимо уравнение Бернулли. На некотором расстоянии вниз

ивверх по потоку течение можно считать плавно изменяющимся (например, сечения 1 и 2 на рис. 34), однако, эта граница трудно определяется как при помощи расчетов, так и при помощи экспериментов. Вследствие этого в состав местного гидравлического сопротивления могут попасть участки трубопроводов с существенными гидравлическими потерями по длине.

Вмногочисленных справочниках по гидравлическим расчетам приводятся результаты, полученные И.Е. Идельчиком [2, 3, 6, 9, 23]. Этот автор сводит местное сопротивление к очень малому участку трубопровода (в пределе можно говорить о дельте-функции Дирака). Так как при экспериментальном определении потерь приходится брать участок конечной длины, иногда значительный, то экспериментальная величина потерь разделяется на потери по длине и собственно местные. При этом предполагается, что коэффициент гидравлического трения известен и равен его значению при соответствующем числе Рейнольдса для длинной трубы. Такой подход, безусловно, носит характер очень грубого приближения. В практике многих организаций величину местного гидравлического сопротивления определяют на определенной длине, которая обязательно указывается.

106

Одной из основных задач для численных методов решения уравнений НавьеСтокса в ламинарной и турбулентной областях течения можно считать определение коэффициентов местных гидравлических потерь. При решении этой внутренней задачи могут уточняться границы области местных потерь. Априорным определением местного гидравлического сопротивления можно принять такой участок трубопровода (русла), на границах которого распределение скоростей близко к распределению скоростей в бесконечно длинной трубе (равномерное течение).

Рис. 34. Изменение давления по длине трубопровода, содержащего диафрагму с острыми кромками

Вид формулы для обобщения экспериментальных данных при определении местных гидравлических потерь дает теория размерностей, теория подобия или анализ дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости. Впервые формулу для оценки величины местных потерь ввел в гидромеханику немецкий ученый Вейсбах в ХIХ веке, поэтому она носит название “формула Вейсбаха”:

где ς – коэффициент местного гидравлического сопротивления, или коэффициент

местных гидравлических потерь, – безразмерная величина, которая определяется видом гидравлического сопротивления и числом Рейнольдса, V – средняя расходная скорость в характерном сечении, до или после местного гидравлического сопротивления (как правило, используется большая величина скорости, подсчитанная по меньшему значению площади сечения потока).

Коэффициент ς имеет величину порядка 1, он редко бывает меньше 0.1 и

больше 10. Значения коэффициентов для некоторых местных сопротивлений приведены в разделе 15.

Потери напора по длине (гидравлические потери на трение) при постоянной площади поперечного сечения трубопровода принято подсчитывать по формуле Дарси:

где λ – коэффициент гидравлического сопротивления или коэффициент Дарси. Для круглых труб формула (14.20) примет следующий вид:

107

Коэффициент λ имеет порядок 0.03 и может существенно зависеть от параметров жидкости и микрогеометрии поверхности трубопровода. Для турбулентного режима течения коэффициент гидравлического трения обычно не выходит за пределы диапазона 0.01 - 0.05. При ламинарном режиме течения коэффициент Дарси достаточно легко вычисляется в большинстве случаев теоретически. Для некоторых форм поперечного сечения трубопроводов решение приведено в разделе 5. Расчетные формулы для турбулентного режима течения приведены в разделе 15.

14.4. Истечение жидкости из насадков и отверстий при постоянном напоре

14.4.1. Основные сведения

Насадок – это короткий трубопровод, непосредственно подсоединенный к баку (сосуду) с жидкостью. Отверстием в тонкой стенке называется насадок, у которого отношение длины к диаметру меньше 0.25. (Отметим, что определения "насадка" и "отверстия в тонкой стенке" не являются общепринятыми в англоязычной и немецкоязычной литературе).

Рис. 35. Истечение жидкости при постоянном напоре

Сосуд (бак), обеспечивающий истечение жидкости при постоянном напоре, изображен на рис. 35. Величиной скорости в баке можно пренебречь. Будем считать отверстие малым d << H . В этом случае все параметры жидкости поперек струи будут одинаковыми. Опыт показывает, что при истечении из отверстия в тонкой стенке, струя на выходе из него сжимается и на некотором расстоянии от сосуда процесс формирования струи заканчивается.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 (см. рис. 35), выбирая плоскость сравнения, проходящую через центр отверстия:

где ς – коэффициент местных потерь для отверстия. Решая это уравнение относительно скорости, получим:

108

Отличительной особенностью гидравлической характеристики отверстия в тонкой стенке, определяющей его широкое распространение в различных конструкциях, является постоянство величины коэффициента расхода при изменении числа кавитации.

χ = (p2 - pп )/(ρv2 /2) ,

где pп – давление насыщенных паров жидкости.

Это объясняется тем, что структура потока и величина коэффициента сжатия на участке от входа в отверстие до узкого сечения остается неизменной, независимо от величины давления даже при развитой кавитации. При истечении струи жидкости из отверстия в тонкой стенке в воздух коэффициент расхода также не зависит от числа кавитации, что подтверждено экспериментально до значений χ = 0,01. Таким образом, при истечении в воздух и под ypовень коэффициент расхода отверстия в тонкой стенке остается постоянным в случае измерения давления на выходе в узком сечении. Это утверждение справедливо лишь при определенной длине отверстия, не превышающей 0,25 его диаметра. Таким образом, отверстием в тонкой стенке можно считать только отверстие с относительной длиной l/d0 ≤ 0,25.

При истечении жидкости в газ, когда имеется граница раздела двух сред, на величину коэффициента расхода отверстия в тонкой стенке начинают оказывать влияние силы поверхностного натяжения, относительную величину которых оценивают с помощью критерия или числа Вебера. Силы поверхностного натяжения создают дополнительное давление внутри струи и, в то же время, изменяют траектории движения частиц жидкости, увеличивая диаметр ее сжатого сечения, а следовательно, и коэффициент сжатия. Вследствие сказанного, очевидно существование экстремума в зависимости коэффициента расхода от числа Вебера. Для исключения влияния числа Рейнольдса в качестве зависимой переменной целесообразно взять относительный коэффициент расхода: отношение коэффициента расхода при истечении в газовую среду к коэффициенту расхода при истечении под уровень.

Рис. 37. График зависимости относительного коэффициента расхода отверстия в тонкой стенке от числа Вебера:

2 - по экспериментальным данным Н.П.Сточек [18]; 1 - по формуле Лауффера

[18]

110