Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 1)

В области We 70 имеется экстремум, увеличение коэффициента расхода при истечении в атмосферу по сравнению с истечением под уровень достигает 8%. При числе Вебера меньше 12 расход жидкости при истечении в газовую среду становится меньше, чем при истечении под уровень. Зона автомодельности коэффициента расхода µ числу Вебера лежит в области ≥104, число Рейнольдса при этом менялось от 600 до 7 104. График (рис. 37) построен на основании экспериментальных данных, полученных в результате испытаний на воде отверстий в тонкой стенке диаметрами 0,4—1,8 мм.

14.4.3. Истечение из насадков (коротких трубопроводов). Влияние геометрических параметров и критериев подобия

Цилиндрические насадки можно рассматривать как прямые трубы ограниченной длины и использовать для их расчета коэффициент гидравлического сопротивления. Широко распространена также оценка гидравлического сопротивления насадка с помощью коэффициента расхода. Для насадка коэффициент расхода, равно как и коэффициент сопротивления, является функцией чисел Рейнольдса, Вебера и кавитации, а также размеров, определяющих геометрическое подобие. Если для отверстия в тонкой стенке число кавитации не оказывало влияния на величину коэффициента расхода, то для насадков оно играет большую роль.

Физическую картину истечения жидкости из насадка с острой входной кромкой можно описать следующим образом: обтекание острой кромки на входе происходит с отрывом потока даже при низких числах Рейнольдса (Re > 5). При Re < 5 наблюдается ползущее движение. При отрыве струя сжимается, образуя узкое сечение на некотором расстоянии от входной кромки. Между узким сечением и стенкой насадка создается отрывная область с вихревым теченим. Если насадок имеет достаточную длину, отрывная область замыкается на стенке. С увеличением числа Рейнольдса отрывная область заметно удлиняется. Если длина насадка мала, то замыкания на стенке не происходит. Давление на стенке по длине вихревой области сначала резко падает — до сжатого сечения, а затем начинает увеличиваться. Такая картина истечения жидкости из насадка определяет все возможные режимы истечения:

1)неустойчивый, с незамкнутой вихревой областью у насадков с l/d <1,5;

2)устойчивый, бескавитационный у насадков c l/d >1,5;

3)кавитационный, когда давление в вихревой области понижается до давления равного или близкого давлению насыщенных паров жидкости (критическое давление кавитации).

Каждый из этих режимов имеет свои особенности. Для коротких насадков, длина которых не обеспечивает полного замыкания вихревой области на стенке,

характерна неустойчивость режима истечения под уровень и в газовую среду в широком диапазоне чисел Рейнольдса 103—105. Неустойчивость режима объясняется различной степенью замыкания вихревой области на стенке, определяющейся, по всей видимости, рядом случайных причин. Измерения коэффициента расхода насадков были проведены рядом исследователей как при больших противодавлениях, так и при атмосферном давлении. Неустойчивый характер истечения и большое рассеивание величины коэффициента расхода (до 10%) сохранялось во всех случаях. Это полностью подтверждает, что неустойчивый режим истечения жидкости из коротких насадков объясняется различной степенью замыкания на стенке насадка,

111

а не кавитационными явлениями. Такие насадки не рекомендуется использовать в гидравлических системах без крайней необходимости.

Увеличение длины насадка до l/d >1,5 приводит к стабилизации процесса истечения. Вихревая область полностью замыкается на стенке, и струя заполняет все выходное сечение насадка; коэффициент сжатия ее в выходном сечении равен единице. Коэффициент расхода насадка при бескавитационном течении является функцией его относительной длины и числа Рейнольдса. С увеличением относительной длины насадка коэффициент расхода уменьшается в связи с возрастанием потерь на трение по длине; с увеличением числа Рейнольдса коэффициент расхода возрастает, т. к. коэффициент сопротивления при этом уменьшается. Обычно зависимость µ = f(l/do, Re) представляется в виде экспериментальных графиков или эмпирических формул.

Полученные расчетные кривые показаны на рис. 38. На график нанесены также и экспериментальные точки, найденные в результате испытаний насадков диаметрами от 0,22 до 3 мм с относительными длинами от 3 до 120, а также опытные значения коэффициента расхода µ по данным [18]. Как видно из графика, все экспериментальные точки располагаются очень близко к теоретическим кривым и, следовательно, определение коэффициента расхода насадка как короткой трубы с учетом начального участка является правомерным. Так как насадок представляет собой трубу с острыми кромками на входе, то переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при Re 103. В переходном режиме в области Re= 2-103—4-103 кривая зависимости коэффициента расхода насадка от числа Рейнольдса имеет заметный излом.

Рис. 38. График зависимости коэффициента расхода цилиндрических насадков с острой кромкой от числа Рейнольдса и относительной длины [17]

Если в качестве абсциссы при построении кривых коэффициента расхода насадков выбрать значение Ret, то происходит смещение переходной зоны в сторону больших чисел Рейнольдса, что искажает физику процесса. Однако для практиче-

112

ского применения кривые с Ret более удобны. В случае необходимости они легко могут быть пересчитаны по формуле: Re = µ Ret.

Ярким примером, показывающим взаимное влияние геометрических параметров и числа Рейнольдса, является сложный, немонотонный характер зависимости коэффициента расхода для короткого трубопровода с фаской на входе (рис.39).

Рис. 39. Зависимость коэффициента расхода цилиндрического насадка с фаской на входе от числа Рейнольдса (l/d = 55)

Можно предположить, что увеличение расхода на начальном участке зависимости определяется влиянием фаски, создающей конфузорное течение на входе и затягивающей область ламинарного режима до Re 104. При дальнейшем росте числа Рейнольдса происходит изменение конфигурации зоны отрывного течения в цилиндрической части.

14.4.4. Кавитационный режим течения в цилиндрических насадках

В цилиндрическом насадке с острой входной кромкой минимальное давление, как уже отмечалось, достигается в сжатом сечении струи в вихревой зоне, находящейся вблизи стенки насадка. Следовательно, именно в этой области начинает образовываться кавитационная зона - каверна, заполненная паром или газом. Кавитация начинается у стенок насадка, вблизи узкого сечения. В центральной части потока в это время видимой кавитации не наблюдается. Центральная часть потока (ядро потока) в начальных стадиях кавитации движется в виде свободной струи, окруженной смесью пара и жидкости. По мере увеличения скорости истечения при постоянном противодавлении либо при уменьшении противодавления (при постоянной скорости истечения) происходит расширение кавитационной зоны. Она распространяется по длине насадка вниз по течению. Длина зоны кавитации характеризует степень развития кавитации в потоке. Критерием динамического подобия условий кавитационного течения является число кавитации χ; в некоторых случаях кавитация зависит также от чисел Рейнольдса и Вебера [17]. Изменять величину числа кавитации можно за счет скорости истечения, противодавления р2 , а также за счет давления насыщенных паров.

С момента возникновения кавитации в цилиндрическом насадке коэффицициент его расхода, в отличие от случая истечения из отверстия в тонкой стенке, начинает уменьшаться, а гидравлическое сопротивление − возрастать. Чем больше степень кавитации, тем меньше коэффициент расхода. Значение числа кавитации, при котором наблюдаются первые признаки кавитации, называется критическим числом кавитации χкр . Его величина зависит от формы и относительных геометри-

113

ческих размеров канала, а также от физических свойств жидкости. Обычно критические значения чисел кавитации для цилиндрических насадков находятся в интер-

вале 0,35 –1,0 (рис. 40).

Рис. 40. Зависимость коэффициента расхода цилиндрического насадка от числа кавитации по данным работы [17]. 1-зона бескавитационнного течения, 2-зона кавитационного течения; а-относительная длина 3; б-относительная длина 5; в-относительная длина 10

Если давление на входе в насадок р1 поддерживается постоянным, а противодавление p2 изменяется, то можно получить режим постоянного массового расхода G=const при ∆p = p1 – p2 = var (рис.41). Этот режим или участок появляется тогда, когда в узком сечении (на входе в насадок или в месте перехода от конического участка с углом α>20° к цилиндрическому) в застойной зоне давление снижается до давления, близкого или равного давлению парообразования рv. С уменьшением давления на выходе р2, при p1=const, расход в этом случае не изменяется, т. к. в узком «живом» сечении насадка устанавливается постоянное давление, и перепад давлений, определяющий величину расхода, остается все время постоянным и

114

равным ∆p=p1—рv. Уменьшение давления на выходе р2 в этом случае приводит лишь к дальнейшему распространению каверны по длине насадка (вниз по течению) и в предельном случае — выходу ее за пределы канала. По мере развития кавитации коэффициент расхода насадка уменьшается и становится равным 0,6— 0,62. Кавитационный режим постоянного расхода при истечении жидкости из насадков широко применяется в узлах регулирования различных гидравлических систем.

Рис. 41. Зависимость массового расхода жидкости от перепада давлений для цилиндрических насадков

Если кавитация вредна (например, в форсунках, дроссельных шайбах), ее можно избежать, выполнив входной участок насадка коническим, сходящимся с углом α < 20° (либо скругленным) с относительной длиной l/d не меньше 1,5. Длина цилиндрической части может быть любой в зависимости от конструктивных требований, предъявляемых к насадку. В частности, эта длина может быть равной нулю, при этом насадок превращается в сужающийся конический.

14.5. Истечение жидкости при переменном напоре (опорожнение сосуда)

При медленном изменение напора (рис. 42) для каждого последовательно сменяющегося состояния можно применить (в первом приближении) соотношение установившегося течения:

Q = µA 2gH ,

где A – площадь поперечного сечения отверстия.

Рис. 42.Истечение жидкости при переменном напоре

Если обозначить площадь поперечного сечения сосуда Ω (в общем случае Ω = Ω (H)), то можно записать, что

115

Учитывая начальное условие при t = 0, H=H0 и принимая Ω = const, µ = const, легко получить следующую формулу для времени опорожнения бака:

Отметим, что рассмотренное решение задачи учитывает только емкостное свойство гидравлической системы и не учитывает ее инерционных свойств.

14.6. Разгон жидкости

Рассмотрим процесс установления стационарного течения жидкости при постоянном значении напора, реализующийся после мгновенного открытия затвора на конце трубопровода (рис. 43).

Рис. 43. Разгон жидкости после открытия затвора на конце трубопровода

Уравнение Бернулли для сечения на свободной поверхности бака и сечения перед затвором запишем в следующем виде:

где ς – коэффициент гидравлических потерь, учитывающий как местные потери,

так и потери на трение.

При установившемся течении

Решение системы уравнений проводилось методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Этот метод устойчив и для получения решения в следующей точке требует значения решения только в одной предыдущей точке. Поэтому шаг интегрирования может быть изменен на любом этапе вычислений. С другой стороны, на каждом шаге метод Рунге-Кутта требует вычисления правых частей уравнений в четырех точках, что является существенным недостатком этого метода. При самостоятельном составлении программы студентам рекомендуется использовать более простой метод Эйлера.

Рис. 44. Опорожнение бака: пунктирные линии − квазистатическое приближение; сплошные линии − с учетом инерционности

Результаты расчета для значения K=10 приведены на рис. 44 в виде зависимости безразмерной скорости у1 и безразмерной высоты y2 от времени в относительных величинах. Пунктирными кривыми изображены зависимости по уравнению (14.28) в квазистатическом приближении, сплошными кривыми — решение в соответствии с уравнениями (14.35) и (14.36). Видно, что при учете инерционности жидкости ее скорость быстро нарастает от нулевого значения, при τ=0,15 сравнивается с квазистатическим значением и затем идет выше этой зависимости. Время опорожнения (с учетом инерционности) на 20% меньше, а максимальное значение скорости на 15% меньше, чем по приближенному решению.

Применение стандартных программ при выполнении гидравлических расчетов позволяет, как показал наш опыт, несколько уменьшить затраты времени студентами на программирование. Однако такой подход требует хорошей организации сервисного обслуживания на ЭВМ и выпуска детального описания стандартных программ.

14.7. Гидравлический удар

Если обратить задачу, рассмотренную в подразделе 14.6, т.е. рассмотреть мгновенное торможение потока со скоростью V0 при мгновенном закрытии задвиж-

118

ки на конце трубопровода, то получим физически невыполнимое бесконечно большое значение давления. Этот результат обусловлен неадекватностью рассматриваемой гидромеханической модели. При быстром закрытии задвижки необходимо учитывать и емкостные, и инерционные свойства гидравлической системы. Приближенное решение задачи может быть получено, если принять в качестве физического постулата, что изменение режима, возникшее в некотором сечении трубопровода, распространяется в обе стороны от этого сечения в виде плоской волны. Граница невозмущенной и возмущенной жидкостей носит название фронта ударной волны. Очевидно, что рассматриваемый постулат может быть выполним только для сжимаемой жидкости.

Сжимаемость жидкости характеризуется коэффициентом объемного сжатия либо объемным модулем упругости.

Из курса общей физики известно, что объемный модуль упругости определяет скорость звука в сплошной среде:

При внезапном закрытии трубопровода возникает гидравлический удар, представляющий собой колебательный процесс, возникающий в трубопроводе с капельной сжимаемой жидкостью. Этот процесс является очень быстротечным и характеризуется чередованием повышений и понижений давления, причем изменение величины давления связанно упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода.

Рис. 45. Перемещение фронта ударной волны

Повышение давления ∆pуд связано с величиной начальной скорости V0 и ско-

ростью перемещения ударной волны, совпадающей в первом приближении со скоростью звука a. Применяя к элементу трубы dx теорему импульсов, получим

(рис.45):

[(p0 + ∆pуд )− p0 ]Adt = Aρdx(V0 −V ).

Выражение (14.38) носит название формулы Жуковского.

Если уменьшение скорости происходит до конечного значения, равного V, то возникает неполный гидравлический удар, для которого формула Жуковского приобретает следующий вид:

119

Формулы (14.37) и (14.38) справедливы в случаях, когда время закрытия задвижки подчиняется следующему условию:

отвечающему так называемому прямому гидравлическому удару. При t >2 l/c имеет место непрямой гидравлический удар, повышение давления при этом будет меньше.

Подробный анализ явления гидравлического удара можно сделать при помощи волнового уравнения, которое можно получить из уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера.

Для обычных водопроводных труб получена следующая полуэмпирическая формула для повышения давления при гидравлическом ударе:

где V – скорость жидкости в м/с; ∆pуд – давление в технических атмосферах.

Скорость распространения упругих возмущений в трубопроводе зависит от модуля объемной упругости жидкости и от характеристик трубопровода:

где E – модуль упругости материала стенок трубы; δ – плотность жидкости;

η – параметр, зависящий от формы поперечного сечения трубы.

Для тонкостенных труб круглого сечения η = Dδ , где D – внутренний диаметр

трубы, δ – толщина стенки. Для труб большой толщины имеются более сложные зависимости для определения коэффициента η .

Тонкостенные трубы легко меняют форму поперечного сечения, а изменение поперечного сечения сказывается на скорости распространения упругих колебаний. Так, для трубы эллиптического сечения при разности полуосей порядка толщины стенки величина η для трубы с овальным сечением будет существенно больше, чем

для трубы круглого сечения. Из-за этого скорость распространения упругих колебаний при наличии эллипсности трубы существенно уменьшается.

Если считать трубу абсолютно жесткой, то скорость распространения ударной волны совпадет со скоростью звука в жидкости (см. (14.37)).

14.8.Волновое уравнение для потока жидкости

Вбыстро изменяющихся течениях жидкости в длинных трубопроводах могут существенно проявляться и инерционные свойства жидкости, и ее сжимаемость, и упругость. Частным случаем является гидравлический удар, рассмотренный в предыдущем разделе. Однако недостаточно полно представленная модель процесса не раскрывает волновой характер течения.

Рассмотрим одномерное, плавно изменяющееся, течение идеальной жидкости, приняв направление скорости по положительному направлению оси х и пренебрегая массовыми силами.

120