Оценка потоков платежей
Проведение практически любой финансовой операции порождает потоки денежных средств. Эти потоки представляют собой численный ряд, состоящий из последовательности распределенных во времени платежей или поступлений CF1, CF2, …. CFt….., CFТ. Для обозначения подобного ряда в мировой практике часто используется термин cash flow – CF - “поток платежей” или “денежный поток”. Отдельный элемент такого численного ряда CFt представляет собой разность между всеми поступлениями денежных средств и их расходованием за конкретный временной период проведения финансовой операции. Величина CFt может иметь как положительный, так и отрицательный знак, в зависимости от того, превышают поступления средств отток средств или наоборот.
Количественный анализ денежных потоков за определенный период времени в общем случае сводится к исчислению следующих характеристик:
FVT – будущей стоимости потока средств за T лет (Т может быть меньше 1);
PVT – современной стоимости потока за T лет.
CFt – величина потока платежей в периоде t, где t=(0,…,T);
r – процентная годовая ставка по данной финансовой операции;
T – период времени между вложением средств (инвестирование) и получением дохода от инвестирования.
CFt
FV
T t
PV
Простейший денежный поток состоит из одной выплаты и одного последующего поступления, либо разового поступления с последующей выплатой, разделенных t - периодами времени (например – лет).
FV=
PV •
(1 + r)T
T t
PV= FV / (1 + r)T
Примерами финансовых операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты, единовременные ссуды, облигации, некоторые виды других ценных бумаг. Численный ряд в этом случае состоит всего из двух элементов –
{-PV; FV} или {PV; -FV}.
Операции с элементарными потоками платежей характеризуются четырьмя параметрами – FV, PV, r, Т. При этом величина любого из них может быть определена по известным значениям трех остальных.
Будущая стоимость элементарного потока платежей
Пример 1.2. Сумма в 10000 руб. помещена в банк на депозит сроком на 1 год, ставка по депозиту – 10% годовых (r = 0,1), проценты по депозиту начисляются в конце срока. Какова будет величина депозита в конце срока?
По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000 руб., процентная ставка r = 0,1 (10% годовых) и срок T = 1 год.
Определим будущую величину вклада через год:
FV = PV + PV • r = PV• (1 + r) = 10000 • (1 + 0,1) = 11000 руб.
Пример 1.3. Сумма в 10000 руб. помещена в банк на депозит сроком на 2 года. Ставка по депозиту – 10% годовых (r = 0,1). Проценты по депозиту начисляются раз в год в конце года и выплачиваются только по завершении срока депозита через 2 года. Какова будет величина депозита в конце срока?
По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000 руб., процентная ставка r = 0,1 (10% годовых) и срок T = 2 года.
Определим будущую величину вклада на конец первого периода:
FV1 = PV + PV • r = PV • (1 + r) = 10000• (1 + 0,1) = 11000 руб. – за год набежали проценты на сумму 1000 руб.
Соответственно в конце второго периода величина FV будет равна:
FV2 = FV1 + FV1• r = PV • (1 + r) + PV• (1 + r) • r = PV • (1 + r)2 =
= 10000• (1 + 0,1)2 = 12100 руб. – за 2 года проценты составили 2100 руб.
Общее соотношение для определения будущей величины через t периодов FVt имеет следующий вид: FVt = PV• (1 + r)t.
Величина FV существенно зависит от значений r и t. Например, будущая величина суммы всего в 1 руб. при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45 руб.!
На практике в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае, соотношение для исчисления будущей стоимости при годовой процентной ставке r, при числе выплат в течение одного года m и в случае, если начисленные проценты не выплачиваются при их начислении, а только по окончании финансовой операции (т.е. прибавляются к основной сумме) – случай наращения с использованием сложных процентов, формула для расчетов FV при использовании формулы сложных процентов будет иметь следующий вид: FVmТ = PV• (1 + r/m)mT .
В этой формуле используется и формула простых процентов для расчетов внутри года – это выражается в определении процентов для выплат за один из m периодов – r/m.
Очевидно, что, чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы FV.
Пример 1.4. При рождении ребёнка отец положил в банк на депозит 150 000 руб. Проценты начисляются ежеквартально по ставке 11% годовых, снимать их до восемнадцатилетия ребёнка не предполагается. Какая сумма денег накопится на депозите к восемнадцатилетию ребёнка?
FV4,18 = 150 000 • (1 + 0,11/4)4•18 = 1 058 000 р.