Если ее нет - сетка координатных линий на графики не наносится (рис. 6.23). Установление или исключение "галочки" осуществляется "нажатием" мышью на раздел Grid On.

6.5. Синтез системы

Под синтезом САУ обычно понимают процесс разработки (проектирования, расчета параметров) одного из звеньев САУ, обеспечивающего заданное ее качество. Пакет CONTROL содержит несколько процедур, осуществляющих проектирование звеньев, использование которых в контуре системы управления делает САУ оптимальной в некотором, вполне определенном смысле.

К примеру, процедура lqr осуществляет проектирование линейноквадратичного оптимального регулятора для систем непрерывного времени.. При обращении к ней вида [K,S,E] = lqr(A,B,Q,R,N) она рассчитывает оптимальное статическое матричное звено К такое, что использование его в цепи отрицатель-

Если последняя матрица N при обращении к процедуре не указана, то она принимается по умолчанию нулевой. Одновременно вычисляется решение S алгебраических уравнений Риккати

и находятся собственные значения Е замкнутой системы

E = EIG(A-B*K) . (6.5)

Применяя эту процедуру к ранее введенной САУ движением торпеды, получим:

[A,B,C,D]=ssdata(sssys)

Q=eye(4)

R=1

[K,S,E] = lqr(A,B,Q,R)

Следующая процедура lqry также применяется для систем "непрерывного времени". Она отличается тем, что, во-первых, проектируемая обратная связь по состоянию рассчитывается как дополнительная по отношению к существующим (а не как заменяющая все уже существующие) и охватывающая только регулируемый объект. Во-вторых, минимизируется функционал не по вектору состояния, а по выходной величине (величинам) системы

'sys' - имя lti-модели оптимизируемой САУ. Та же процедура может быть применена для дискретной системы (модели), уравнения состояния которой заданы в

Q=1; R=1;

[K,S,E] = LQRY(sssys,Q,R)

K =

0.1501 0.0988 0.2471 0.1844

0.1502

S =

0.3002 0.1977 0.4941 0.3689

0.1977 0.1308 0.3270 0.2584

0.4941 0.3270 0.8172 0.6451

0.3689 0.2584 0.6451 0.8316 E =

-4.8653 + 8.5924i -4.8653 - 8.5924i -0.4222 + 0.6286i -0.4222 - 0.6286i

Процедура lqrd позволяет спроектировать дискретный оптимальный ли- нейно-квадратичный регулятор, минимизирующий непрерывный функционал

(6.2). Обращение к процедуре [K,S,E] =lqrd(A,B,Q,R,N,Ts) , где Ts - заданный пе-

риод дискретизации, приводит к расчету матрицы К статического звена (6.1) обратной связи по вектору состояния системы. При этом модель системы должна быть задана в конечно-разностной форме (6.8).

Проектирование оптимального линейного дискретного регулятора для дискретной системы с использованием дискретного функционала (6.9) можно осуществить, используя процедуру dlqr, например, таким образом [K,S,E] = dlqr(A,B,Q,R,N,Ts) . Уравнения состояния системы должны быть предварительно приведены к конечно-разностной форме (6.8). Матрица S в этом случае представляет собой решение уравнения Риккати в виде

Процедура kalman осуществляет расчет (проектирование) фильтра Калмана для непрерывных или дискретных систем автоматического управления. Обраще-

ние к процедуре имеет вид [KEST,L,P] = kalman(SYS,Qn,Rn,Nn), где SYS - имя

с известными входами 'u', шумовым процессом 'w', шумом измерения 'v' и шумами

фильтр KEST имеет вход [u;y] и генерирует оптимальные оценки ye и xe соответственно величин 'y' и 'x' путем решения уравнений:

При этом LTI-модель SYS-системы должна содержать данные в виде (A, [B G],C,[D H]). Фильтр Калмана KEST является непрерывным, если SYS представлена как непрерывная система, и дискретным - в противном случае. Процедура вычисляет также матрицу L коэффициентов усиления фильтра и матрицу P ковариаций ошибок оценивания состояния. Для непрерывной системы и H=0 матри-

то обращение [KEST,L,P,M,Z] = kalman(SYS,Qn,Rn,Nn) позволяет спроектировать дискретный фильтр Калмана для заданной дискретной системы по заданным

генерирует оптимальные оценки y[n|n] выхода и x[n|n] - переменных состояния, используя значения u[n] входа системы и y[n] - измеренного выхода.

Помимо KEST программа выдает матрицы L оптимальных коэффициентов

фильтр (оцениватель) Калмана KEST для непрерывной системы, описываемой

уравнениями (6.11) и (6.12) при Н = 0 и таких параметрах шумов: E{w} = E{v} = 0, E{ww'} = Qn, E{vv'} = Rn, E{wv'} = 0. Кроме параметров оценивателя проце-

дура вычисляет и выдает ранее описанные матрицы L, M, P и Z.

Задача построения (формирования) оптимального регулятора решается в MatLAB при помощи процедуры lqgreg. Если обратиться к этой процедуре RLQG = lqgreg(KEST,K), то она создает в матрице RLQG регулятор, соединяя предварительно спроектированный фильтр Калмана KEST со статическим звеном оптимальной обратной связи по вектору состояния, спроектированным процедурами (D)LQR или LQRY. Регулятор RLQG, входом которого является выход 'y' системы, генерирует команды u = -K xе, причем xе является оценкой Калмана вектора состояния, основанной на измерениях 'y'. Этот регулятор должен быть подсоединен к исходной системе как положительная обратная связь.

Предыдущие процедуры опираются на некоторые "вспомогательные" процедуры, которые, однако, имеют и самостоятельное значение и могут использоваться при синтезе САУ. К таким процедурам можно отнести:

estim - формирует оцениватель по заданной матрице коэффициентов передачи оценивателя по выходам и вектору состояния;

care - находит решение непрерывных алгебраических уравнений Риккати;

dare - находит решение дискретных алгебраических уравнений Риккати;

lyap - находит решение непрерывных уравнений Ляпунова;

dlyap - находит решение дискретных уравнений Ляпунова.

Так, обращение EST = estim(SYS,L) формирует оцениватель EST по заданной матрице L для выходов и вектора состояния системы, заданной ss-моделью ее 'SYS', в предположении, что все входы системы SYS являются стохастическими, а все выходы - измеряемыми. Для непрерывной системы вида (6.7), где 'u' - стохастические величины, создаваемый оцениватель генерирует оценки ye и xe соот-

ветственно выходов и вектора состояния: dxdte = ( Ae − L C) xe + L y ;

ye = C xe ,

Похожим образом процедура применяется и для дискретных систем.

К процедуре care следует обращаться по такому образцу [X,L,G,RR] = care(A,B,Q,R,S,E) . В этом случае она выдает решение Х алгебраического уравнения Риккати

A'XE + E'XA - (E'XB + S) R-1 (B'XE + S') + Q = 0,

или, что эквивалентно,

F'XE + E'XF-1 - E'XBR-1B'XE + Q - SR-1S' = 0, где F:=A - BR-1S'.

Если при обращении к процедуре пропущены входные параметры R,S и E, то по умолчанию им присваиваются такие значения R=I, S=0 и E=I (I - единичная матрица). Кроме того, процедура вычисляет

матрицу коэффициентов усиления

G = R-1(B'XE + S') ,

вектор L собственных значений замкнутой системы (т..e. EIG(A-B*G,E)),

норму RR Фробениуса матрицы относительных остатков.

Процедура [X,L,G,RR] = dare(A,B,Q,R,S,E) вычисляет решение уравнения Риккати для дискретного времени

E'XE = A'XA - (A'XB + S)(B'XB + R)-1(A'XB + S)' + Q

или, что эквивалентно (если R не вырождена)

E'XE = F'XF - F'XB(B'XB + R)-1B'XF + Q - SR-1S', где F:=A-BR-1S'. В этом случае G = (B'XB + R)-1(B'XA + S').

Рассмотрим теперь процедуру lyap. Обращение к ней X = lyap(A,C) позволяет найти решение Х матричного уравнения Ляпунова

A*X + X*A' = -C,

а обращение X = LYAP(A,B,C) - решение общей формы матричного уравнения Ляпунова (называемого также уравнением Сильвестра):

A*X + X*B = -C.

Аналогично, процедура X = DLYAP(A,Q) находит решение дискретного уравнения Ляпунова

A*X*A' - X + Q = 0.