1.3. Операции с векторами и матрицами |
43 |
14 -15 -4
» x = A \ B x =
1
2
3
1.3.7. Матричные функции
Вычисление матричной экспоненты (eА) осуществляется с помощью функций expm, expm1, expm2, expm3. Эти функции следует отличать от прежде рассмотренной функции exp(A), которая формирует матрицу, каждый элемент которой равняется е в степени, которая равняется соответствующему элементу матрицы А.
Функция expm является встроенной функцией MatLAB. Функция expm1(A) реализована как М-файл, который вычисляет матричную экспоненту путем использования разложения Паде матрицы А. Функция еxpm2(A) вычисляет матричную экспоненту, используя разложение Тейлора матрицы А. Функция expm3(A) вычисляет матричную экспоненту на основе использования спектрального разложения А.
Приведем примеры использования этих функций:
» A = [1,2,3; 0, -1,5;7, -4,1]
A = |
|
|
1 |
2 |
3 |
0 |
-1 |
5 |
7 |
-4 |
1 |
» expm(A)
ans = |
|
|
131.3648 |
-9.5601 |
80.6685 |
97. 8030 |
-7. 1768 |
59. 9309 |
123. 0245 |
-8. 8236 |
75. 4773 |
» expm1(A)
ans = |
|
|
131.3648 |
-9.5601 |
80.6685 |
97. 8030 |
-7. 1768 |
59. 9309 |
123. 0245 |
-8. 8236 |
75. 4773 |
» expm2(A)
ans = |
|
|
131.3648 |
-9.5601 |
80.6685 |
97. 8030 |
-7. 1768 |
59. 9309 |
123. 0245 |
-8. 8236 |
75. 4773 |
» expm3(A)
ans = |
|
|
|
1.0e+002 * |
|
|
|
1. 3136 + 0. 0000i |
-0. 0956 + 0. |
0000i |
0. 8067 - 0. 0000i |
0. 9780 + 0. 0000i |
-0. 0718 - 0. 0000i |
0. 5993 - 0. 0000i |
|
1.2302 + 0. 0000i |
-0. 0882 - 0. |
0000i |
0. 7548 - 0. 0000i |
Функция logm(А) осуществляет обратную операцию - логарифмирование матрицы по натуральному основанию, например:
A = |
|
|
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
5 |
1.3. Операции с векторами и матрицами |
44 |
|||||
7 |
4 |
|
1 |
|
|
|
» B = expm3(A) |
|
|
|
|||
B = |
|
|
|
|
|
|
1.0e+003 * |
|
|
|
|
||
0.9378 |
|
0.7987 |
0.9547 |
|
|
|
1. 0643 |
0. 9074 |
1. 0844 |
|
|
||
1. 5182 |
1. 2932 |
1. 5459 |
|
|
||
» logm(B) |
|
|
|
|
||
ans = |
|
|
|
|
|
|
1. 0000 |
2. 0000 |
3. 0000 |
|
|
||
0. 0000 |
1. 0000 |
5. 0000 |
|
|
||
7.0000 |
|
4. 0000 |
1. 0000 |
|
|
|
Функция sqrtm(А) вычисляет такую матрицу Y, что Y*Y = A: |
|
|||||
» Y = sqrtm(A) |
|
|
|
|||
Y = |
|
|
|
|
|
|
0.7884 |
+ 0.8806i |
0.6717 - 0.1795i |
0.8029 - 0.4180i |
|
||
0. 8953 |
+ 0. 6508i |
0. 7628 + 0. 8620i |
0. 9118 - 1. 0066i |
|
||
1.2765 - 1. 4092i |
1. 0875 - 0. 5449i |
1. 3000 + 1. 2525i |
|
|||
» Y * Y |
|
|
|
|
|
|
ans = |
|
|
|
|
|
|
1. 0000 |
+ 0. 0000i |
2. 0000 - 0. 0000i |
3. 0000 + 0. 0000i |
|
||
0. 0000 |
- 0. 0000i |
1. 0000 - 0. 0000i 5. 0000 - 0. 0000i |
|
|||
7.0000 + 0. 0000i |
4. 0000 + 0. 0000i |
1. 0000 + 0. 0000i |
|
|||
1.3.8. Задания
Задание 1.5. Вычислите значения функции f(x) на отрезке [a; b] с шагом h.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3 |
||
Вариант |
|
|
f (x) |
|
|
|
a |
b |
|
h |
|
|||
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
1,1 |
3,1 |
|
0,2 |
|
|||
|
1+ 0,25 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
x3 − 0,3x |
|
2,05 |
3,05 |
|
0,1 |
|
|||||||
|
|
|
1 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
2e−x |
|
|
|
0 |
1,6 |
|
0,16 |
|
|||
|
|
2π + x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
cosπx 2 |
|
|
|
-1 |
0 |
|
0,1 |
|
||||
|
|
|
1 − 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
1+ 4x sin πx |
0,1 |
0,8 |
|
0,07 |
|
||||||||
6 |
|
|
e |
x |
3 |
|
|
|
|
1,4 |
2,4 |
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1+ x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 |
e−2x + x 2 −1 |
|
0,25 |
2,25 |
|
0,2 |
|
|||||||
8 |
(e + x)sin(π |
|
x −1) |
1,8 |
2,8 |
|
0,1 |
|
||||||
9 |
3 + 2x tg |
πx |
3 |
0,1 |
0,9 |
|
0,08 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1.3. Операции с векторами и матрицами |
|
|
|
|
45 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
10 |
|
2 + 3x ln(1+ 3x 2 ) |
|
|
-0,1 |
0,9 |
0,1 |
|
|
|||||||||||
|
11 |
|
3 x 2 + 3 cos |
πx |
|
|
|
1 |
2,5 |
0,15 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
(4 + 7x)sin(π3 1+ x ) |
|
|
0 |
7 |
0,7 |
|
|
|||||||||||
|
13 |
|
e−x2 (1+ 3x − x 2 ) |
|
|
|
0 |
2 |
0,2 |
|
|
||||||||||
|
14 |
|
x3 − 3x + |
|
|
|
8 |
|
|
|
0 |
1,7 |
0,17 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
15 |
sh |
2πx |
|
|
|
|
|
|
|
ex |
− e−x |
0 |
1,2 |
0,12 |
|
|
||||
|
|
, |
sh x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
16 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
ex |
+ e−x |
0,5 |
1,5 |
0,1 |
|
|
||||
|
|
ch |
|
, |
ch x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2π |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
17 |
|
|
|
x3 + 2x |
|
|
|
|
|
|
-0,2 |
0,8 |
0,1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1+ ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
18 |
|
1+ 2x2 sin |
|
3x |
|
|
|
2 |
4 |
0,2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
3x 2 + 5 cos πx |
|
|
|
0,5 |
1,5 |
0,1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
arccos e |
−3 |
3x |
|
|
|
0,2 |
0,5 |
0,03 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
21 |
|
arcsin e |
−x |
2 |
|
|
|
|
|
8 |
13 |
0,5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
22 |
|
x + ln(x + |
|
1 + x 2 ) |
|
|
-0,5 |
0,5 |
0,1 |
|
|
|||||||||
|
23 |
|
|
1 + e |
−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
0,2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3x 2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
24 |
|
3x |
3 + |
1 |
|
+ e−2x2 |
|
|
|
1,2 |
2,2 |
0,1 |
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
25 |
|
x 2x+1 + x3 − 2x |
|
|
|
1 |
5 |
0,4 |
|
|
||||||||||
1.3.9.Вопросы
1.Как вводятся векторы в языке MatLAB? Какими функциями можно формировать векторы в языке MatLAB?
2.Какие функции MatLAB разрешают преобразовывать вектор поэлемент-
но?
3.С помощью каких средств в MatLAB осуществляются основные операции с векторами?
4.Как вводятся матрицы в системе MatLAB?
1.3. Операции с векторами и матрицами |
46 |
5. Какие функции имеются в MatLAB для формирования матриц определенного вида?
6. Как сформировать матрицу: а) по заданным векторам ее строк? б) по заданным векторам ее столбцов? в) по заданным векторам ее диагоналей?
7.Какие функции поэлементного преобразования матрицы есть в MatLAB?
8.Как осуществляются в MatLAB обычные матричные операции?
9.Как решить в MatLAB систему линейных алгебраических уравнений?