- •Вопрос-1 {1-6, к: 1- 13} : квантовая природа электромагнитного излучения. Тепловое излучение
- •1.1 Тепловое излучение и люминесценция {к: 1-2}
- •Вопрос-2 {7-10, к: 13-18}: формула планка
- •Вопрос-4 {10-13, к: 22-27}: эффект комптона
- •Дифракция электронов на двух щелях {к: 31-32}
- •Соотношение неопределённости гейзенберга
- •Применение соотношений неопределённости
- •Основные операторы квантовой механики
- •Вопрос-10: гармонический осциллятор
- •Вопрос-11 {29-31, к: 62-67}: прохождение микрочастицы через потенциальный барьер
- •Вопрос-12 {31-33, к: 68-72}: квантование момента импульса
- •Квантование проекций моментов импульса
- •Фундаментальные взаимодействия
- •Распределение электронов по электронным уровням принцип паули {к: 93-96}
- •Вопрос-20 {47-48, к: 96-100}: периодическая система менделеева
- •Нормальный эффект зеемана {к: 102}
- •Лазеры {к: 106}
- •Квантовая статистика ферми-дирака {к: 114-115}
- •Вопрос-25 {58-59, к: 117-188}: функция плотности состояния
- •Вопрос-29 {62-63, к: 123-126}: электропроводность металлов
- •Эффект джозеферона (1962)
- •Вопрос-31 {67-72, к: 131-138}: элементы зонной теории твёрдых тел
- •В рамках приближения слабой связи рассматривается движение квазисвободных электронов в периодическом поле кристалла.
- •Вопрос-32 {73-75, к: 139-143}: движение электронов в периодическом поле кристалла под действием внешнего поля. Эффективная масса электрона. Понятие о дырках.
Основные операторы квантовой механики
Динамические переменные классической механики |
Операторы квантовой механики |
Координаты: (r, x, y, z) |
^r, ^x, ^y, ^z |
Импульс: (P, Px, Py, Pz) |
^P=-i (или h/i) ^Px=-i(д/дx) ^Py=-i(д/дy) ^Pz=-i(д/дz) |
Момент импульса: L=[r, P] = |i j k| |x y z| |Px Py Pz| Lx=ypz-zpy; Ly=zpx-xpz; Lz=xpy-ypx; |
^L=-j[r, ] Lx=-i[y(д/дz)-z(д/дy)] Ly=-i[z(д/дx)-z(д/дz)] Lz=-i[x(д/дy)-y(д/дy)] |
Энергия: E=p2/2m + U(r) |
Оператор Гамильтона (гамильтанион): ^H=-2/2m + U(r); |
СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
На множестве операторов можно ввести “+” и “*”. Их смысл зависит от того, являются ли динамические переменные одновременно измеряемыми или нет.
Сумма: (^F+^Q)=^F+^Q;
Произведение: (^F, ^Q)=^F(^Q, ) не всегда подчиняется правилу коммутативности, т.е. ^F^Q^Q^F;
[^F, ^Q]=^F^Q - ^Q^F коммутатор операторов F И Q.
Если он равен нулю, то динамические переменные F и Q, соответствующие операторам ^F и ^Q, м/б одновременно измерены. И наоборот.
[^X, ^Дx]=X(d/dx) - (d/dx)x;
(^X, ^d/dx)=x(d/dx);
(^d/dx, ^x)=(d/dx)(x)=+x(d/dx)
ВОПРОС-8 {23-25, к: 49-53}: УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
Основная задача квантовой механики нахождение -функции и изучение связанных с ней свойств микрочастиц. Наличие у микрочастиц волновых свойств требует особого подхода к изучению их движения. 1926 Шрёдингер описал движение микрочастиц с помощью волнового уравнения.
Уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется.
УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
Волновое уравнение обобщено: -(1/2)(д2/дt2)=0 => на случай волны де Бройля.
=0=ei(t-(k, r))= {=E/, k=p/} = 0e(i / )(Et - (p, r)) ;
ИТОГО: (r, t) = e (i / )Et (r) ;
k=/; +k2=0; Для микрочастиц: k=p/ ;
Шрёдингер обобщил догадку де Бройля на случай движения частицы в силовом поле. В этом случае её полная энергия: E=p2/2m + U(r)=k22/2m + u (2m/2)(E-U)=k2;
ИТОГО: +(2m/2)(E-U)=0, U потенциальная энергия в силовом поле.
=(д2/дx2) + (д2/дy2) + (д2/дz2);
-(2/2m)=^H=E;
[-(2/2m)+U(r)]=E уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.
E1, E2, ... En дискретный энергетический спектр
^H=E оператор Гамильтона
ВРЕМЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА {к: 51-52}
В общем случае: ^H=(2/2m) + U(r, t) (Ep уже не имеет смысла).
F=-U; e(1 / ) и i(д/дt)=E
ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ВРЕМЕНИ: [(-2/2m) + U(r, t)]=i(д/дt);
Решение уравнения Шрёдингера (-функция) зависит от вида U(r, t).
Для свободно движущейся частицы U(r, t)=0 => решением является ВОЛНА ДЕ БРОЙЛЯ: (r, t)=0e(i / )(Et-(, r)) т.е. чтобы задать состояние микрочастицы, нужно задать его во всём пространстве.
УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ {к: 52-53}
(-(2/2m) + U(r, t))* = -it(д*/дt) |
(-(2/2m) + U(r, t)) = -it(д/дt) |
i(*(д/дt) + (д*/дt))=(/2m)(*-*); =2 ;
-*(д/дt)+(д*/дt)=-(/2mi) (* - *);
=* плотность вероятности.
j=(/2mi)(* - *);
ИТОГО: д/дt + (, j) = 0 закон изменения вероятности (в локальной форме).
ВОПРОС-9 {25-28, к: 53-59}: ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
5.1 Частица в одномерной потенциальной яме с абсолютно высокими и абсолютно непроницаемыми стенками.
Пусть частица движется вдоль Ox в потенциальном поле:
Ux={, x<0 ; 0, 0xl ; , x>l }
<РИС>
При x<0 => (x)=0 , (0)=0 , при x>l => (x)=0, (l)=0 ;
Для одномерного случая уравнение Шрёдингера превращается в обычное дифференциальное уравнение.
0<x<l : d2/dx2 + (2m/2)E=0;
k2=(2m/2)E k волновое число волны де Бройля.
n + k2 = 0; (x’’ + 02x=0) ; =Asin(kx+); (0)=Asin=0 =0
(l)=Asinkl=0 kl=n ;
sin функция знакопеременная, но мы ограничимся положительными значениями
n=1, 2, 3...
k=n/l ; k=2/ => l=n/2 на ширине потенциальной ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.
k2=(2m/2)E; (n2/l2)=(2m/2)E E=[(22)/(2ml2)]n2 ;
Энергия частицы в потенциальной яме принимает дискретный ряд значений: E1, E2, ... En собственные значения энергии частицы, n главное квантовое число.
Отметим, что квантованность энергии следствие математических требований, накладываемых на решение уравнения Шрёдингера.
<РИС>
=Asin(n/l)x ; ||2dx=1 {0, l} ; A2sin2[(n/2)x]dx=1 {0, l };
A2<sin2[(n/l)x]l=1 ; A=sqrt(2/l); =sqrt(2/l)sin[(n/l)x];
Из графика видно, что вероятность обнаружения частицы в состоянии 2 (в середине ямы) равна нулю, а в обеих половинах частица бывает равновероятно.
E=En+1 - En = [22/2ml](2n+1)[22/ml2]n ;
5.2 Энергетический спектр и волновые функции микрочастицы в ящике в непроницаемыми стенками: V(0<x<a, 0<y<b, 0<z<c);
Физические условия непроницаемости стенок ящика:
U(r) = {0, r V ; , r V}
r V => +(2m/2)E=0 ; En1n2n3 = [22/2m][n12/a2 + n22/b2 + n32/c2]
(r)=1(x)2(y) 2(z) = sqrt(8/abc) sin[n1/a]x sin[n2/b]y sin[n3/c]z
Из выражений для собственных значений энергии и собственных функций => одной и той же энергии может соответствовать несколько собственных функций .
n1=n2=n3 => 1 ; n1=n2n3 => 3 ; n1n2n3 => 6
Если собственное значение энергий, которое называется энергетическим уровнем, отвечает нескольким -функциям, то такой уровень ВЫРОЖДЕННЫЙ. Число кратность вырождения.
Из полученных соотношений следует, что энергия частицы в связанном состоянии принимает ряд дискретных значений (квантуется).
Полученные результаты согласуются с соотношением неопределённости. Неопределённости координат порядка l соответствует неопределённость импульса порядка /l ; Если предположить, что значение импульса по порядку величины совпадает с величиной неопределённости импульса ( p~/l ) => E=p2/2m = 2/2ml2 ; (E=22/2ml2 );
Замечание: если потенциальная яма имеет конечную глубину.
’’-2=0; 2=(2m/2)(U0-E); =const ex : “+” x > l , “-” x<0