Квантовая статистика ферми-дирака {к: 114-115}

f_F=1/(e^(E-)/(kT)+1),   химический потенциал.

В применении к вырожденному газу фермионов  называют уровнем Ферми и находят из условия нормировки.

F_F(E)={1, E< ; 0, E>}

Вблизи абсолютного нуля все уровни с E< полностью заняты, а с E>  свободны.

Уровню Ферми соответствует max кинетическая энергия E_ферми, которой могут обладать электроны в металле при нулевой температуре.

E_F, будучи кинетической энергией поступательного движения электронов, не связана с их тепловым движением, а имеет чисто квантовую природу и возникает из-за специфики электронов и фермионов согласно принципу Паули.

Связь между химическим потенциалом и E_F для случая kT<< выражается соотношением: =E_F[1-(²/12)(kT/E_F)²]

 слабо зависит от температуры. Вплоть до температуры плавления kT<<E_F =>  считают совпадающим с E_F(0);

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНА {к: 115

Описывает бозоны (S=0,1, 2)

f_Б-Э=1/(e^(E-)/(kT)-1) => <n(E)>  среднее число частиц с энергией E

=> 0, т.к. при E< среднее число частиц становится < 0;

Для систем с переменным числом частиц =0 => f_Б-Э=1/(e^E/(kT)-1), E=

Из вида f видно, что в системе может находиться неограниченное число одинаковых фотонов => на фотоны и бозоны не распространяется принцип Паули.

P~N ; Вероятность появления бозона в состоянии, где уже есть N бозонов ~ N.

ПОНЯТИЕ О ФОНОНАХ {к: 116-117}

Атомы в узлах кристаллической решётки связаны между собой => их колебания не являются независимыми.

Тепловое возбуждение атомов кристалла может быть представлено как распространение волн упругих деформаций.

На основании корпускуларно-волнового дуализма каждой волне можно сопоставить движение квазичастиц  фононов  квантов энергии поля упругих деформаций.

Фонону можно приписать энергию =(2)/()=()/()=/  скорость распространения упругих волн в кристалле. |k|=2/ ;

Изучение тепловых колебаний атомов в кристаллической решётке можно заменить изучением движения фононов.

При низких температурах фононы можно считать невзаимодействующими и рассматривать как идеальный фононный газ.

Фононы в кристалле находятся в потенциальном ящике => дискретный энергетический спектр. Они заполняют энергетические состояния от 0 до Emax.

_max=2c/_min ; _min=2d ;

Т.к. число фононов нефиксировано, функция распределения:

f_Б-Э=1/(e^E/(kT)-1)

Вопрос-25 {58-59, к: 117-188}: функция плотности состояния

Для определения полной энергии газо-квантовых частиц (фононы и т.д.) необходима функция плотности состояний (число состояний, приходящихся на единичный интервал энергии).

(E)=d(E)/dE ;

Для нахождения (E) используется представление о фазовом пространстве  многомерном пространстве, где оси координат  координаты частиц и проекций импульсов.

Для системы из N частиц мерность пространства = 6N.

Для одной частицы величина элементарного объёма фазового пространства = d=d_xd_yd_zdp_xdp_ydp_z ;

Из принципа неопределённости => значение минимального фазового объёма, приходящегося на одно состояние = d_min=h³ (не ³ !)

Знание d_min позволяет определить общее число состояний квантовых частиц во всём объёме пространства (и элементарном объёме).

d=d/d_min ;

Чтобы получить (E) в энергетическом представлении, необходимо выразить d как функцию энергии: интегрируют d по всем значениям координат и импульсов, а затем используют соотношение между энергией и импульсом.

=V{0, 2}{0, }{0, p}p²sindpdd = (4p³V)/3;

(p)=(4p³V)/3h³ ; d(p)=(4p²V/h³)dP ;

(p)=(4p²V)/h³  функция плотности, составленная в импульсном виде.

ВОПРОС-27 {59, к: 119}: (E) ДЛЯ ФОНОНОВ

Чтобы перейти к (E) в энергетической форме нужно воспользоваться соотношениями E <-> p для фононов.

p=/; dp=d/; d()=[(4²V)/(³h³)]d ;

()=[(4²V)/(³h³)];  3 (3 типа волн: 2 поперечных, 1 продольный)

()=[(12²V)/(³h³)];

U=f()()dE {0, E_max}; E_max = _max = k_Д ;

ВОПРОС-26 {60, к: 119-120}: (E) ДЛЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

См. вопросы 25 и 27.

Рассмотрим электрон в пустом ящике с непроницаемыми стенками.

P=sqrt(2mE); dp=[sqrt(2m)/2]E^1/2 ;

(E)=[(42mEsqrt(2m)E^1/2)/(2h³)] dE ;

(E)=[4V(2m)^3/2E^1/2/(2h³)];  2 (каждое состояние с E может быть заполнено двумя электронами)

(E)=[(2m)^3/2V/(2²³)]E^1/2 ; Знание (E) позволяет определить полное число электронов в системе.

N=f(E)(E)dE {0, }  условие нормировки

При невысоких температурах основная часть электронов заполняет уровни с E<E_F => верхний предел интегрирования можно заменить на E_F ;

f(E)=1; N=(E)dE {0, E_F} = [[(2m)^3/2V]/(3²³)]E^3/2_F ;

E_F = (²/2m)(2²)^2/3(N/V)^2/3 , n  концентрация.

N=610²⁸ м^3 для металлов  E_F=9 ЭВ

Средняя энергия электрона выражается:

<E>=[Ef(E)(E)dE {0, }]/[f(E)(E)dE {0, }] ={E<E_F}=

=[E(E)dE {0, E_F}]/[(E)dE {0, E_F}];

ВОПРОС-28 {60-62, к: 120-123}: КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЁМКОСТИ МЕТАЛЛОВ

C_V = C_V^{решётки} + C_V^{электронного газа} ;

C_V=дU/дT = (д/дT)[3N_AkT + (3/2)N_AkT] = 3R+(3/2)R=(9/2)R ;

ТЕПЛОЁМКОСТЬ ФОНОННОГО ГАЗА {к: 121}

Для нахождения C_V^{решётки} твёрдых тел используют представление о фононном газе. В приближении фононного газа полная энергия фононов, распределённая по энергетическим уровням, аппроксимирует полную энергию кристалла.

C_V^{решёлтки} = С_V^{фононного газа} = дE^Ф/дT; ^Ф=f()()d {0, _max}

Выражение для E^max можно получить из условия, что полное число фононных состояний в твёрдом теле 3N; _max  _Д , т.к. _max=k_Д ,

T >> _Д , ^Ф=eRT

T < _Д , ^Ф=AT⁴

ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА {к: 121-123}

При T=0K свободные электроны металла занимают все энергетические уровни вплоть до уровня Ферми. При повышении температуры электроны подвергаются возбуждению и переходят на более высокие уровни.

KT<<E_F

Тепловому возбуждение подвергаются лишь электроны узкой полосы (~kT), распадающейся у уровня Ферми. Оценим их число. Считаем, что расстояние между уровнями одинаковое.

E=E_F/(N/2);

В полосе, где E=kT расположено:

kT/E = kTN/2E_F , kTN/E_F  электронов.

kT/E  количество уровней, лежащих ниже уровня Ферми в полосе kT.

Каждый из электронов получает энергию kT (при нагреве). Электроны более глубоких уровней свою энергию не меняют.

Увеличение энергии всего электронного газа:

E=kT(kTN/E_F); C_V=дE/дT=2k²TN/E_F ; C_V=2kkN_AT/E_F=2RkT/E_F ;

C_V^{классич.}=(3/2)R ; C_V^{квантов.}/C_V^{классич.}=(4RkT)/(3RE_F)kT/E_F ;

При обычных T: kT=0,01 ЭВ ; E_F9 ЭВ

C=C^{решётки} + C^{электр.} (пренебрежимо мало) = 3R