Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
FIZ_3.DOC
Скачиваний:
9
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
370.69 Кб
Скачать

Вопрос-10: гармонический осциллятор

Пусть частица совершает равномерные движения в пространстве под действием квазиупругой силы: F=-kx; U=kx2/2={k=m2}=m2x2/2;

d2/dx2 + (2m/2)(E- m2x2/2)=0  имеет конечное непрерывное решение при следующих значениях E: n=0, 1, 2, 3 .... En=(n+1/2);

<РИС>

Отличие данного выражения от выражений для энергии классического осциллятора:

а) Энергия квантуется, причём энергетические уровни эквидистантны (расстояние между уровнями равно ).

б) Нулевые колебания также обладают энергией.

Математический аппарат квантовой механики позволяет рассчитать вероятность перехода осциллятора из одного состояния в другое. Возможны лишь переходы с n=1;

Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходе из одного состояния в другое, называются “правилами отбора”. Полученные результаты согласовываются с теорией Планка.

Обобщая рассмотренные случаи движения микрочастиц (потенциальная яма и гармонический осциллятор), отметим, что квантование энергии  общее свойство квантовых объектов. В то же время структура энергетического спектра зависит от формы потенциальной ямы. E ~ n2  бесконечная яма; E ~ n;

Для бесконечно глубокой потенциальной ямы собственные функции  обращаются в ноль на границе.

Собственные функции гармонического осциллятора не обращаются в ноль в точках, удовлетворяющих U(xn)=En => квантовая частица может находиться в тех точках пространства, где её U(xn)>En ;

Это явление не имеет аналогии в классической теории и называется ТУННЕЛЬНЫМ ЭФФЕКТОМ.

Волновая функция осциллятора в основном состоянии совпадает с функцией Гаусса.

<РИС>

Вопрос-11 {29-31, к: 62-67}: прохождение микрочастицы через потенциальный барьер

Рассмотрим основные закономерности туннельного эффекта на примере преодоления микрочастицей, движущейся с E, потенциального барьера высотой U0>E.

<РИС>

U(x)={0, -<x<0 ; U0, 0xl ; 0, lx<}

Классическая частица с E<U0 отразится в точке x0 от барьера и будет двигаться назад.

Поведение квантовой частицы описывается уравнением Шрёдингера, которое выглядит по разному в областях (1,3) и 2.

1,3: d2/dx2 + (2mE/2) = 0 ;

2: d2/dx2 + (2m/2)(E-U0) = 0, E-U0 < 0;  = ex ;

Подстановка в первое уравнение приводит к характеристическим уравнениям: 2 + 2mE/2 = 0; =sqrt(2mE)/=ik;

Общее решение в (1,3) имеет вид падающей и отражённой волны де Бройля:

1=A1e+ikx+B1e ikx ;

3=A3eik(x-l) + B3e ik(x-l) ; Т.к. нет отражения, то B3=0;

В области (2) корни 2 + [2m(U0-E)]/2 = 0 действительны и равны:

=  sqrt(2m(U-E0))/ =   ;

Решение в области (2): 2=A2ex + B2e x ;

Коэффициенты можно найти из условия непрерывности -функции и её производной на границе барьера:

1(0)=2(0); 1’(0)=2’(0); 2(l)=3(l); 3’(l)=3’(l);

A1 + B1 = A2 + B2 ; A2el + A2el += A3 ;

ikA1 - ikB1 = A2 - B2 ; A2el - A2el = ikA3 ;

Отношение квадратов модулей амплитуд называется КОЭФФИЦИЕНТОМ ОТРАЖЕНИЯ, который описывает вероятность отражения частицы от барьера.

R=|B2|2/|B1|2  коэффициент отражения; R1 даже если E>U0 ;

Д=|A3|2/|A1|2  КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ (прозрачности)  вероятность, что частица пройдет через барьер: Д0, даже если E<U0 ;

Если ввести: n2=2/k2 = (U0-E)/E ;

Д=[16n2/(n2+1)2]e2l  e (2/)sqrt(2m(U0-E))l ;

Д зависит от массы частицы, ширины барьера, соотношения высот...

Из неравенства нулю Д при E<U0 => в туннеле Ek < 0;

В квантовой механике не имеет смысла деление E на Ek и Ep , т.к. это противоречило бы принципу неопределённости. Т.о. R+Д=1;

Аналог туннельного эффекта имеет место в классической электромагнитной теории, которая предсказывает, что волна, падающая из более плотной среды в менее плотную, представляет собой тонкий слой между двумя плотными средами, даже при плотном внутреннем отражении проникает в “запрещённую” область и распространяется в виде бегущей волны.

Туннельный эффект  квантовое явления, связанное с волновыми свойствами частиц. Туннельный эффект объясняет ионизацию атомов, холодную эмиссию (вырывание e из металлов под действием электрического поля), -распад ядер.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]