Применение соотношений неопределённости

Можно получить результат, не решая уравнения:

1. Оценка энергии нулевых колебаний гармонического осциллятора: E0; Если бы: E_k=m²/2=P²/2=0 и E_n=kx²/2 = 0 => координаты и скорость определены => противоречие соотношению неопределённости.

P_xx= , P_x~P_x , x~x , px=  P=/x ;

E=E_k+E_n=²/2mx² + kx²/2; dE/dx=(-2)²/2mx³ + kx = 0;

x⁴=²/mk  x²=/sqrt(mk); E_min=sqt(mk)/2h + k/2sqrt(mk) = [=sqrt(k/m)] = /2 + /2 =  ;

Более точный расчёт даёт: E_min = /2 ;

2. Соотношение неопределённости объясняет, почему электрон водорода не падает на ядро + позволяет определить размеры атома водорода и энергию его основного состояния.

E=P²/2m - kl²/r ; pr= ; p~p и r~r => pr=  p=/r ;

E=²/2mr² - kl²/r ; dE/dr=(-2)²/2mr³ + kl²/r² = 0 ;

r_min=²/kl²m  первый боровский радиус ; E_min=-k²l⁴m/2² ;

ВОПРОС-7 {18-23, к: 39-49}: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЁ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Способ описания квантовой системы должен учитывать её волновые свойства => Шрёдингер, 1926  “состояние квантовой системы в данный момент времени м/б описано комплексной функцией координат”.

=(x, y, z)  волновая функция. Сама она не имеет физического смысла, но такой смысл имеет квадрат её модуля, который интерпретируется статистически как плотность вероятности обнаружить частицу в точке с x, y, z.

||²=* ; dP=|²|dxdydz=|²|dV ; |²|=dP/dV ;

|²|dV=1 {V} условие нормировки.

В соответствии со своим физическим смыслом -функция д/б: непрерывной, конечной, однозначной, иметь непрерывные конечные производные первого порядка по координатам, удовлетворять условиям нормировки. Это  “стандартные условия”, позволяющие получать сведения, не решая уравнений.

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ {к: 40-41}

Квантовая механика  теория вероятностная => надо знать, что даёт суммирование волновых функций разных состояний => фундаментальный постулат квантовой механики  “принцип суперпозиции”, согласно которому: если в состоянии, описываемом ₁ некоторое измерение даёт результат 1, а в ₂ некоторое измерение даёт результат 2, то всякая линейная комбинация вида: c₁₁+c₂₂, где c₁, c₂  константы (м/б комплексными) описывает состояние, в котором то же измерение даёт либо результат 1, либо результат 2.

ОПЕРАТОРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН {к: 41-46}

Чтобы использовать для описания квантовой системы понятия классической механики (r, P, L, E), динамическим переменным квантовой механики ставятся в соответствие операторы  такие действия над волновой функцией, которые позволяют найти средние значения этих переменных в данном состоянии.

Операция измерения  Физический объект

\/ \/

Операторы квантовой механики  

Математически измерениям соответствуют операторы.

Динамические переменные в классической механике имеют определённые значения, т.е. состояние системы задаётся совокупностью чисел.

Динамическим переменным квантовой механики нельзя приписать определённые значения. Но математический аппарат квантовой механики позволяет:

1. Определить возможные значения измеряемой физической величины, которая называется её собственной величиной.

2. Рассчитать вероятности получения определённых значений.

3. По известным вероятностям рассчитать среднее значение величин в данном состоянии.

Рассмотрим эти операции подробно:

1. Чтобы связать операторы с числами в квантовой механике используется факт, что для каждого оператора можно найти волновые функции (-функции)  его собственные функции, которые являются решениями уравнения: ^F=F (*)  при действии оператора на функцию получается та же функция, умноженная на число.

Примеры операторов:

а) ^Д_x=d/dx; ^Д_x=d/dx ;

б) ^X  оператор независимой переменной: ^X=X

в) ^F= - d²/dx² ; =cos4x ; ^F=16cos4x=16;

(*) имеет решение не при всех значениях параметра F.

Те значения, при которых (*) имеет решение и которые соответствуют возможным результатам измерения некоторых физических величин  СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ оператора ^F.

Одни физические величины имеют, как в классической механике, непрерывные спектр собственных значений (например, координаты), другие  дискретные спектр (например, энергия).

F₁, F₂, ... , F_i , .... F_n  дискретный спектр собственных значений ^F (или возможные результаты измерения величины F).

2. Решение уравнения (*)  совокупность собственных функций.

₁, ₂, .... _n  описывает состояние системы, в котором F имеет определённые значения.

Волновая функция  произвольного состояния системы, согласно принципу суперпозиции м/б разложена по собственным функциям измеряемой физической величины => оператор должен быть линейным, т.е. удовлетворять условию: ^F(c₁₁ + c₂₂)=c₁^F₁+c₂^F₂, где c₁ и c₂  произвольные комплексные числа.

ИТОГО: =c_i {i=1, } (**)

(**) даёт возможность найти вероятность обнаружения (при измерении) у системы, описываемой , того или иного значения F_i динамической переменной F.

3. Если есть вероятности, то можно вычислить средние значения переменных в данном состоянии: если ^F  оператор физической величины, то в состоянии, описываемом волновой функцией , среднее значение F рассчитывается по формуле:

<F>=*^FdV {V} (***)

Значения измерения величины F_i и её среднего значения д/б действительными => накладывается дополнительное ограничение на свойства операторов ^F, которые д/б самосопряжёнными.

Есть ₁ и ₂: ₁^F₂dV {V}=(F₁)*₂dV ;

Пример самосопряжённого линейного оператора: (1/i)(d/dx);

Пример линейного оператора: ^X и ^Д_x ;

Пример нелинейного оператора: возведение функции в степень.

Т.о. динамическим переменным квантовой механики ставятся в соответствие линейные самосопряжённые операторы.

Явный вид операторов устанавливается при использовании законов сохранения.