Вопрос-12 {31-33, к: 68-72}: квантование момента импульса

Важная задача  изучение движения частицы в поле центральных сил.

В классической механике такое движение описывается с помощью моментов импульсов, в квантовой механике  с помощью оператора момента импульса.

Особенность оператора  факт, что ^L_x^L_y  ^L_y^L_x , т.е. операторы момента импульса не коммутируют.

Это значит, что соответствующие проекции не могут быть одновременно измерены: если одна проекция определена, то две остальные  нет.

Однако, каждый из этих операторов коммутирует с квадратом момента импульса: ^L_я^L²  ^L²^L_z ;

Это означает, что момент импульса и одна из его проекций могут одновременно иметь одинаковые значения.

Оператор ^L² имеет общие собственные функции с оператором каждой из его проекций: ^L²=L² ; ^L_z=L_z ;

^L²=L² ; ^L_z=L_z ; (x, y, z)  (r, , );

x=rsincos; y=rsincos; z=rcos ; {0r<, 0, 02)

L²=²l(l+1);

l=0 (s) , 1 (p) , 2 (d) , 3 (f) , 4 (g) , 5 (h)  азимутальное квантовое число

l=0 => S-состояние; L=sqrt(l(l+1));

Квантование проекций моментов импульса

Найдём вид оператора одной из проекций (L_Z) в сферической системе координат.

^L_z=L_z ;

(д/д)=(дx/д)(д/дx) + (дy/д)(д/дy) + (дz/д)(д/дz);

(дx/д)=-rsinsin=-y; (дy/д)=rsincos=x; (дz/д)=0;

(д/д)=-y(д/дx)+x(д/дy);

^P_X=-i(д/дx); ^P_Y=-i(д/дy); -i(д/д)=x^P_Y-y^P_X=^L_Z  ^L_Z=-i(д/д)

-i(д/д)=L_Z; =ce^{(i/)Lz} ;

Т.к.   циклическая переменная с T=2, то из условия однозначности следует: ()=(+2)

e^{(i/)Lz} = e^{(i/)Lz(+2)}  e^{(i/)Lz2} =1 ; L_z=m ; m=0, 1, 2, ...  магнитное квантовое число. Найдём max(m) из условия:

msqrt(l(l+1)); max(m)=l ; m=0, 1, 2, ... l и l=0, 1, 2 ... => L_z<L

Направление момента импульса остаётся неопределённым не совпадает с выбранным направлением.  является естественной единицей момента импульса и его проекции. m  магнитное квантовое число.

Ввиду изотропности пространства нет преимущественного направления, пока оно не выделено физически (например  включением параллельно ему магнитного поля).

Всего  (2l +1) значений.

ВОПРОС-13 {33-34, к: 72-75}: МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЗАРЯЖЕННОЙ МИКРОЧАСТИЦЫ

Механический момент импульса неразрывно связан с магнитным моментом, т.к. орбитальное движение создаёт магнитное поле.

L=[r, p]; P_m=Isn; L=rm_e; P_m=er²=[=2; =r]=(|e|r)/2;

P_m/L=|e|/(2m_e)=g_C  орбитальное гиромагнитное отношение.

P_m=-(eL/2m_e)=[(e)/(2m_e)]sqrt(l(l+1)) ;

_Б = e/2m_e=9,2710^-24 Дж/тл  магнетон Бора (естественная единица измерения магнитного момента).

P_mz = -(eL_z)/(2m_e)L_z=-(em)/(2m_e)=- _Бm ;

ОПЫТЫ ШТЕРНА-ГЕРЛАХА. СПИН ЭЛЕКТРОНА {к: 73-75}

L=sqrt(l(l+1)); L_z=m; P_m=-_Бsqrt(l(l+1)); P_mz=-_Бm ;

Квантование моментов импульса обнаружено в 1921 году. Идея опыта  определение силы, действующей на атомы в неоднородном магнитном поле.

<РИС>

F_z=P_mz(д/дz);

<РИС>

Если бы P_m мог иметь произвольную ориентацию, то на пластинке наблюдался бы непрерывный растянутый свет с большей плотностью в центре.

Но наблюдалась система узких полос, смещённых по O_z в соответствии с P_mz=-_Бm => проекция магнитного момента атома на направление магнитного поля квантуется.

У атомов, находящихся в S-состоянии (m=0) (атомы с одним валентным электроном)  вместо одной полоски было две.

Этот факт указывает, что в S-состоянии атом обладает магнитным моментом, проекция которой на направление магнитного поля обладает двумя значениями _Б ;

Голдсмит и Уленбек (1925): “Электрон обладает собственным моментом импульса  спином”.

L^S=sqrt(S(S+1)); L^S_z=ms; (2s+1)=2 => S=1/2 ;

P^S_mz=_Б ; P^S_mz/L^S_z=|e|/m_e=g_S  спиновое гиромагнитное отношение;

g_s=2g_e ;

Элементарный магнетик  сам электрон. Так была установлена спиновая природа ферромагнетизма. Спин не имеет аналога в макромире. Спин  одновременно релятивистское и квантовое свойство.

ВОПРОС-14: СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

СЛОЖЕНИЕ ОРБИТАЛЬНЫХ И СПИНОВЫХ МОМЕНТОВ

Каждому механическому моменту импульса заряженной частицы соответствуют магнитные моменты, которые взаимодействуют между собой как круговые токи.

Это приводит к взаимодействию соответствующих механических импульсов  спин-орбитальному взаимодействию.

Есть два способа взаимодействия:

1. LS-связь: реализуется, если спин-орбитальное взаимодействие мало (в сильных магнитных полях).

При этом складываются порознь все векторы орбитальных моментов системы и спиновых моментов.

Величины результирующих моментов: L=sqrt(L(L-1)), L  орбитальное квантовое число.

Для системы из двух частиц: L= l₁+l₂, l₁+l₂-1, ... , |l₁-l₂|  ряд значений. L=sqrt(l(l+1))  орбитальный момент импульса одной частицы. L_z=m_z; m_z=0, 1, 2, ..., L (всего 2L+1);

Спиновые моменты импульса: L_s=sqrt(S(S+1))

Чётные S: от 0 до N(1/2) , N=6: S=0, 1, 2, 3, ...

Нечётные S: от Ѕ до N(1/2) , N=1/2, 3/2, 5/2, 7/2 ;

Полный момент импульса системы определяется как векторная сумма результирующих орбитальных и спиновых моментов, а его величина = L_I=sqrt(J(J+1)), J  квантовое число результирующих моментов импульса.

В следствие различной взаимной ориентации L и L_s I принимает ряд значений.

J=L+S; L+S-1; ... ; |L-S|

L=3; S=1; => J=4, 3, 2;

L=3; S=1/2; => J=7/2, 5/2;

Если оперировать квантовомеханическими векторами как обычными, но с учётом квантования их абсолютных величин и их проекций,

L_JZ=m_J; m_J=0, 1, 2, 3 .... всего (2J+1);

то можно построить наглядную векторную модель, согласно которой вектор может иметь направление образующей конуса и вращаться равномерно вокруг направления z;

Проекции L и L_s сохраняются со временем, т.е. являются интегралами движения.

2. j-j-связь: реализуется в слабых магнитных полях , если спин-орбитальное взаимодействие велико. Складываются векторы орбитальных и спиновых моментов в результирующий момент импульса.

L_j=sqrt(j(j+1)); j=lS=l1/2;

А затем результирующий момент импульса частиц складывается в результирующий момент импульса системы: L_j=sqrt(J(J+1)); L_J=L_j;

СИМВОЛИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ

Учёт спина приводит к введению новых квантовых чисел J и m_j.

Энергетическое состояние частицы определяется: n, l, j ;

Символически оно обозначается nlj, где l=0(s), 1(p), 2(d), 3(f), 4(g), 5(h)

2P_1/2  главное число n=2, P-состояние=1, j=1/2;

Энергетические состояние системы зависит от взаимной ориентации моментов импульсов отдельных частиц: L, S, J;

Символическое обозначение энергетического состояния системы (“терма”): ^2S+1L_J ; 2S+1 =   мультиплексность терма.

ВОПРОС-15 {37-38, к: 80-83}: ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ И АТОМНОГО ЯДРА

Масштабы времён, расстояний и масс в физических процессах:

Время	, сек	Размер	, м	Масса	, кг
Возраст Вселенной	1017=1,51010 лет	Видимая часть Вселенной	1026	Метагалактика	1053
Распад протона	> 1032 лет	Ядро	10-15	Протон	1,672 10-27
Время жизни частицы резонанса	10-23	Кварк	10-18	Нейтрино	10-35=?
Планковское время, tп=sqrt(G/c5)	~10-44	Планковская длина, lп=sqrt(G/c3)	~10-35	Масса Планка, mп=sqrt(c/G)	2,810-8